Question

Решите неравенство 2^x+4 × 7^x+4 > 2^3x × 7^3x 2 в степени x+4 умножить на 7 в степени х+4 больше 2 в степени 3х умножить на 7 в степени 3х

Answer 1

$2^{x+4}*7^{x+4}\ \textgreater \ 2^{3x}*7^{3x}\\ 14^{x+4}\ \textgreater \ 14^{3x}\\ x+4\ \textgreater \ 3x\\ x-3x\ \textgreater \ -4\\ -2x\ \textgreater \ -4 \ |:(-2)\\ x\ \textless \ 2$
ответ: х ∈ (-∞; 2)

Answer 2

Давайте решим данное неравенство шаг за шагом.

Неравенство, которое нужно решить, выглядит следующим образом:

2^x+4 × 7^x+4 > 2^3x × 7^3x + 2^x+4 × 7^x+4

Для удобства обозначим 2^x+4 как a и 7^x+4 как b:

a × b > 2^3x × 7^3x + a × b

Мы видим, что a × b есть общий множитель на обеих сторонах неравенства. Вычтем его из обеих частей:

0 > 2^3x × 7^3x

Теперь у нас есть неравенство без общего множителя. Давайте продолжим решение.

Разбиение оснований

Для упрощения выражения, давайте разобьем основания 2^3x и 7^3x на отдельные множители:

0 > (2^3 × 7^3)^x

Теперь мы можем записать (2^3 × 7^3) в виде (2 × 7)^3:

0 > (2 × 7)^3x

Применение логарифмов

Чтобы решить это неравенство, мы можем применить логарифмы к обеим сторонам. Давайте возьмем логарифм по основанию 10 (обычный логарифм) от обеих сторон:

log(0) > log((2 × 7)^3x)

Свойства логарифмов

Мы знаем, что логарифм от 0 не определен, поэтому первая часть неравенства не имеет смысла. Поэтому мы можем сосредоточиться на второй части:

log((2 × 7)^3x)

Используя свойства логарифмов, мы можем переписать это выражение:

3x log(2 × 7)

Упрощение

Теперь у нас есть выражение 3x log(2 × 7). Давайте упростим его:

3x log(14)

Решение

Теперь мы имеем следующее неравенство:

0 > 3x log(14)

Чтобы неравенство было истинным, мы должны учесть два случая:

1. Если log(14) > 0, тогда неравенство будет выполняться при любых значениях x. 2. Если log(14) < 0, тогда неравенство будет выполняться только при отрицательных значениях x.

Вывод: Решение данного неравенства зависит от значения log(14). Если log(14) > 0 или x < 0, то неравенство выполняется для любых значений x. Если log(14) < 0, то неравенство выполняется только для отрицательных значений x.