Question

Биссектриса углов а и в при боковой стороне ав трапеции авсд пересекаются в точке f ,биссектриса углов с и д при боковой стороне сд пресекаюется в точке g .найдите fg если средния линия трапеции равна 21 , боковые стороны 13 и 15

Answer 1

я тут уже решал подобную задачу столько раз, что не помню, когда был первый.

 

Точки пересечения биссектрис - это центры окружностей, касающихся левой (или правой) стороны и обеих оснований. Поэтому отрезок, соединяющий эти центры - ЧАСТЬ СРЕДНЕЙ ЛИНИИ :))). Далее, если бы эти центры совпадали, то длина средней линии была бы равна ПОЛУСУММЕ БОКОВЫХ СТОРОН, то есть 14. (в этом случае трапеция была бы "ОПИСАНА ВОКРУГ ОКРУЖНОСТИ", а у таких 4угольников суммы противоположных сторон равны). Поэтому ответ 21-14=7. :)))

 

(Именно на это расстояние как бы раздвинуты вписаные окружности - пояснение такое :))). 

 

Еще вариант решения, по сути - такой же

 Обе точки пересечения биссектрис лежат на одинаковом расстоянии от оснований, это - центры окружностей, касающихся оснований. Одна касается левого ребра 13, другая - правого 15. Если точки касаний делят верхнее основание на отрезки x, у, z, то сразу ясно, что z - искомое расстояние. И есть 3 соотношения.

 

z+x+y = b;

z+(13-x)+(15-y) = a;

(a + b)/2 = 21

 

Складываем и делим на 2.

 

z = 7

 

Еще вариант решения - проводим спецальную касательную к ЛЕВОЙ ОКРУЖНОСТИ (то есть - с центром в точке F), параллельную СD. Легко видеть, что окружность с центром в F вписана в трапецию с основаниями (13 - z) и (15 - z), где z - ИСКОМОЕ РАССТОЯНИЕ между центрами. Далее - см. начало :))) 

Answer 2

Решение:

Дано: - Трапеция AVCD, где AV || CD. - Биссектриса углов A и В при боковой стороне AV пересекается в точке F. - Биссектриса углов C и D при боковой стороне CD пересекается в точке G. - Средняя линия трапеции равна 21. - Боковые стороны AV и CD равны 13 и 15 соответственно.

Нам нужно найти длину отрезка FG.

Решение:

1. Построим среднюю линию MN трапеции AVCD, которая является средней линией оснований.


2. Известно, что средняя линия MN равна 21. Так как средняя линия является средним арифметическим оснований трапеции, то длина основания AD равна 2 * MN.

Длина основания AD = 2 * 21 = 42.

3. Так как AV || CD, то углы A и D, а также углы B и C являются смежными углами и их биссектрисы пересекаются на основании AD.


4. Из треугольника AFD, зная биссектрису угла А и длину стороны AF, мы можем найти длину стороны FD с помощью теоремы синусов:

sin(A/2) = AF / AD

Так как угол A равен 180° - углу D, то угол A/2 равен углу D/2.

sin(D/2) = AF / AD

Отсюда, можно найти длину стороны FD.

5. Из треугольника BGC, зная биссектрису угла C и длину стороны BG, мы можем найти длину стороны GC с помощью теоремы синусов:

sin(C/2) = GC / CD

Так как угол C равен 180° - углу B, то угол C/2 равен углу B/2.

sin(B/2) = GC / CD

Отсюда, можно найти длину стороны GC.

6. Из треугольника FGC, мы можем найти длину отрезка FG, используя теорему косинусов:

FG^2 = FD^2 + GC^2 - 2 * FD * GC * cos(DGC)

Здесь DGC - угол между сторонами FD и GC.

7. Решим уравнение для FG, используя найденные значения.

Предлагаю выполнить расчеты:

Давайте найдем значения длин сторон FD и GC для дальнейших расчетов.