Question

Решите уравнение: log2(2x-1)-2=log2(x+2)-log2(x+1) Распишите полностью, пожалуйста.

Answer 1

________________________________
Решено при помощи свойства логарифмов с учётом О. Д. З.

$log_{a}(b) - log_{a}(c) = log_{a}( \frac{b}{c} )$



ОТВЕТ: 3

Answer 2

$log_2(2x-1)-2=log_2(x+2)-log_2(x+1)\\ \\ log_2(2x-1)+log_2(x+1)=log_2(x+2)+2\\ \\ log_2(2x-1)+log_2(x+1)=log_2(x+2)+log_22^2\\ \\log_2[(2x-1)(x+1)] = log_2[4(x+2)]$

(2x - 1)(x + 1) = 4(x + 2)

2x² + 2x -x - 1 = 4x + 8

2x² - 3x - 9 = 0

D = 9 + 4*2*9 = 81 = 9²

x₁ = (3 - 9)/4 = -1,5

x₂ = (3 + 9)/4 = 3

Проверка корней

1) x₁ = -1,5 - не подходит по ОДЗ логарифма :

$log_2(2*(-1,5)-1)-2=log_2(-1,5+2)-log_2(-1,5+1)\\ \\ log_2(-4)-2=log_2(0,5)-log_2(-0,5)$

2) x₂ = 3

$log_2(2*3-1)-2=log_2(3+2)-log_2(3+1)\\ \\ log_25-2=log_25-log_24 \\ \\ -2=-2$

Ответ : x = 3

Answer 3

Для решения данного уравнения, давайте разберемся пошагово.

Уравнение:

log2(2x-1)-2=log2(x+2)-log2(x+1)

Шаг 1: Объединение логарифмов

Мы можем объединить два логарифма с одинаковым основанием в один логарифм, используя свойство логарифмов, которое гласит: log(a) - log(b) = log(a/b).

log2(2x-1)-2=log2((x+2)/(x+1))

Шаг 2: Упрощение

Далее, мы можем применить свойство логарифма log(a) - log(b) = log(a/b) и упростить уравнение:

log2((2x-1)/(2^2))-log2((x+2)/(x+1))=0

Шаг 3: Приведение к общему знаменателю

Чтобы упростить уравнение еще больше, давайте приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей (2x-1)/(2^2) и (x+2)/(x+1) будет 2^2 * (x+1).

log2(((2x-1)*(x+1))/((2^2)*(x+2)))-log2((x+2)/(x+1))=0

Шаг 4: Упрощение дробей

Продолжим упрощение, раскрыв числитель и знаменатель дробей:

log2((2x^2+x-1)/(4x+4))-log2((x+2)/(x+1))=0

Шаг 5: Применение свойства логарифма

Теперь мы можем применить свойство логарифма log(a) - log(b) = log(a/b) к обоим дробям:

log2(((2x^2+x-1)/(4x+4))*((x+1)/(x+2)))=0

Шаг 6: Упрощение дроби

Упростим дробь внутри логарифма:

log2((2x^2+x-1)*(x+1))/((4x+4)*(x+2)))=0

Шаг 7: Упрощение дроби

Продолжим упрощение дроби:

log2((2x^3+3x^2-3x-1)/(4x^2+12x+8))=0

Шаг 8: Применение свойства логарифма

Применим свойство логарифма log(a^b) = b*log(a) к числителю:

(2x^3+3x^2-3x-1)/(4x^2+12x+8)=2^0

Шаг 9: Упрощение

Упростим 2^0, что равно 1:

(2x^3+3x^2-3x-1)/(4x^2+12x+8)=1

Шаг 10: Решение уравнения

Теперь мы можем решить получившееся уравнение. Для этого, давайте умножим обе части уравнения на знаменатель (4x^2+12x+8), чтобы избавиться от дроби:

(2x^3+3x^2-3x-1) = (4x^2+12x+8)

Шаг 11: Упрощение

Раскроем скобки и упростим уравнение:

2x^3 + 3x^2 - 3x - 1 = 4x^2 + 12x + 8

Шаг 12: Перенос всех членов в одну сторону

Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

2x^3 + 3x^2 - 4x^2 - 3x - 12x - 1 - 8 = 0

2x^3 - x^2 - 15x - 9 = 0

Шаг 13: Поиск корней

Теперь мы можем попытаться найти корни этого уравнения. Однако, данное уравнение является кубическим, и его решение может быть достаточно сложным. В данном случае, я рекомендую использовать численные методы или калькулятор для нахождения корней.

Примечание: В данном ответе я не использовал информацию из поисковых результатов, так как они не содержат достаточно информации для решения данного уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с численным решением уравнения, пожалуйста, дайте мне знать!