Question

1. Решить неравенство : 5000^1-x> 5001^1-x 2. Решить уравнение : 2 cos ^3 x = cos^2 x 3. Решить уравнение : 2 sin ^2 x = sin x 4. Найти площадь круга описанного около прямоугольного треугольника , катеты которого являются корнями уравнения x^2 - 4x + 2 = 0

Answer 1

2 sin ^2 x = sin x
2 sin ^2 x - sin x=0
sinx( 2sinx-1)=0
sinx=0 или 2sinx-1=0 
х= πn, n∈Z    sinx=1\2
                      x= (-1)^k π\6+πk    

Answer 2

Давайте разберем каждый из ваших вопросов по порядку.

1. Решение неравенства: 5000^1-x > 5001^1-x

Для начала, давайте приведем оба выражения к общему основанию. Заметим, что 5000^1-x и 5001^1-x можно записать как (5000/5001)^x. Таким образом, неравенство станет:

(5000/5001)^x > 1

Теперь возьмем логарифм от обеих частей неравенства с основанием (5000/5001). Получим:

x > log(1) / log(5000/5001)

Здесь log - логарифм по основанию (5000/5001). Значение логарифма можно вычислить с помощью калькулятора или программы для работы с математическими функциями.

2. Решение уравнения: 2 cos^3(x) = cos^2(x)

Для решения этого уравнения нам нужно привести его к виду, где на одной стороне будет 0. Перепишем уравнение:

2 cos^3(x) - cos^2(x) = 0

Теперь факторизуем левую часть уравнения:

cos^2(x) * (2cos(x) - 1) = 0

Таким образом, мы получили два фактора, которые могут равняться нулю: cos^2(x) = 0 и 2cos(x) - 1 = 0.

Решим каждый фактор по отдельности:

a) cos^2(x) = 0: Из этого уравнения следует, что cos(x) = 0. Решим уравнение cos(x) = 0 для x в диапазоне от 0 до 2π (или от 0 до 360 градусов). Решениями будут x = π/2 и x = 3π/2.

b) 2cos(x) - 1 = 0: Решим это уравнение: 2cos(x) = 1 cos(x) = 1/2 Решениями этого уравнения будут x = π/3 и x = 5π/3.

Таким образом, решениями уравнения 2 cos^3(x) = cos^2(x) будут x = π/2, x = 3π/2, x = π/3 и x = 5π/3.

3. Решение уравнения: 2 sin^2(x) = sin(x)

Для решения этого уравнения приведем его к виду, где на одной стороне будет 0. Перепишем уравнение:

2 sin^2(x) - sin(x) = 0

Теперь факторизуем левую часть уравнения:

sin(x) * (2sin(x) - 1) = 0

Таким образом, мы получили два фактора, которые могут равняться нулю: sin(x) = 0 и 2sin(x) - 1 = 0.

Решим каждый фактор по отдельности:

a) sin(x) = 0: Решим уравнение sin(x) = 0 для x в диапазоне от 0 до 2π (или от 0 до 360 градусов). Решениями будут x = 0 и x = π.

b) 2sin(x) - 1 = 0: Решим это уравнение: 2sin(x) = 1 sin(x) = 1/2 Решениями этого уравнения будут x = π/6 и x = 5π/6.

Таким образом, решениями уравнения 2 sin^2(x) = sin(x) будут x = 0, x = π, x = π/6 и x = 5π/6.

4. Нахождение площади круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, катеты которого являются корнями уравнения x^2 - 4x + 2 = 0

Для нахождения площади круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, нам нужно знать длины катетов этого треугольника.

У нас есть уравнение x^2 - 4x + 2 = 0, где x - это длина одного из катетов. Найдем корни этого уравнения.

Найдем дискриминант D: D = b^2 - 4ac D = (-4)^2 - 4 * 1 * 2 D = 16 - 8 D = 8

Так как дискриминант D положительный, у уравнения есть два различных корня.

x = (-b ± √D) / (2a) x = (-(-4) ± √8) / (2 * 1) x = (4 ± √8) / 2 x = 2 ± √2

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника являются корнями уравнения x^2 - 4x + 2 = 0 и равны 2 + √2 и 2 - √2.

Теперь, чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника, мы можем использовать формулу:

R = (a + b - c) / 2

Где a и b - это длины катетов, а c - это гипотенуза треугольника. В нашем случае гипотенузу можно найти с помощью теоремы Пифагора:

c^2 = a^2 + b^2

Подставим известные значения:

c^2 = (2 + √2)^2 + (2 - √2)^2 c^2 = 4 + 4√2 + 2 + 4 - 4√2 + 2 c^2 = 12

Таким образом, c = √12 = 2√3.

Теперь подставим значения a, b и c в формулу для радиуса окружности:

R = (2 + √2 + 2 - √2 - 2√3) / 2 R = (4 - 2√3) / 2 R = 2 - √3

Итак, радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника с катетами 2 + √2 и 2 - √2, равен 2 - √3.

Для нахождения площади круга используем формулу:

S = πR^2

S = π(2 - √3)^2 S = π(4 - 4√3 + 3) S = π(7 - 4√3)

Таким образом, площадь круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника с катетами 2 + √2 и 2 - √2, равна π(7 - 4√3).

Обратите внимание, что все значения были округлены до определенного количества знаков после запятой. Для более точных результатов можно использовать более точные значения и математические функции.