Question

Вычислите |(1+3е^x-cos3x)dx

Answer 1

=x+3*e^x-1/3*sin3x+C

Answer 2

Чтобы вычислить интеграл от функции |(1+3e^x-cos3x)dx, мы должны разбить его на два случая: когда выражение внутри модуля положительно и когда оно отрицательно.

Первый случай: (1+3e^x-cos3x) ≥ 0 В этом случае, модуль не влияет на интеграл, поэтому мы можем интегрировать функцию (1+3e^x-cos3x) как обычно. Интеграл от 1 dx равен x, интеграл от 3e^x dx равен 3e^x, а интеграл от -cos3x dx равен sin3x/3. Таким образом, интеграл от (1+3e^x-cos3x)dx равен x + 3e^x + sin3x/3 + C, где C - произвольная постоянная.

Второй случай: (1+3e^x-cos3x) < 0 В этом случае, мы должны помнить, что модуль обращает знак отрицательного числа на положительный. Поэтому, чтобы вычислить интеграл, мы должны умножить функцию (-1) и интегрировать ее. Интеграл от -1 dx равен -x, интеграл от -3e^x dx равен -3e^x, а интеграл от -(-cos3x) dx равен -(-sin3x/3). Таким образом, интеграл от -(1+3e^x-cos3x)dx равен -x - 3e^x + sin3x/3 + C, где C - произвольная постоянная.

В итоге, интеграл от |(1+3e^x-cos3x)dx будет равен x + 3e^x + sin3x/3 + C, если выражение внутри модуля положительно, и -x - 3e^x + sin3x/3 + C, если выражение внутри модуля отрицательно.