Question

1)6 cos^2x-sin^2x=5 2)sin^2x-2cos^2x+1/2sin2x=0 3)sin^4x-cos^4x=sin^2x 4)1-3cos^2x=2sinx cosx

Answer 1

1) 6cos²x-1+cos²x=5
   7cos²x=6
     cos²x=6/7
cosx=√6/7    cosx=-√6/7
x=-+arccos√6/7+2πn        x= -+arccos(-√6/7)+2πn n∈Z
2)sin²x-2cos²x+1/2sin2x=0
sin²x+sinx*cosx-2cos²x=0  поделим на cos²x≠0
tg²x+tgx-2=0
tgx=1    tgx=-2
x=π/4+πn      x=-arctg2+πn
3) (sin²x+cos²x)(sin²x-cos²x)=sin²x
-cos²x=0
cosx=0
x=π/2+πn
4)sin²x+cos²x-3cos²x-2sinx*cosx=0
sin²x-2sinx*cosx-2cos²x=0 поделим на cos²x≠0
tg²x-2tgx-2=0
D=1+2=3
tgx=1+√3  tgx=1-√3
x=arctg(1+√3)+πn      x=arctg(1-√3)+πn

Answer 2

1) Рассмотрим выражение 6 + cos^2(x) - sin^2(x) = 5. Перепишем его в виде 6 + cos^2(x) - (1 - cos^2(x)) = 5. Упростим его, раскрыв скобки: 6 + cos^2(x) - 1 + cos^2(x) = 5. Теперь объединим одинаковые слагаемые: 2cos^2(x) + 5 = 5. Вычтем 5 из обеих частей уравнения: 2cos^2(x) = 0. Разделим обе части уравнения на 2: cos^2(x) = 0. Так как квадрат косинуса не может быть отрицательным, то получаем, что cos(x) = 0. Это означает, что x принадлежит множеству значений { π/2 + πn, где n - целое число}.

2) Рассмотрим выражение sin^2(x) - 2cos^2(x) + 1/2sin(2x) = 0. Упростим его, заменив sin(2x) на 2sin(x)cos(x): sin^2(x) - 2cos^2(x) + 1/2(2sin(x)cos(x)) = 0. Раскроем скобки и объединим одинаковые слагаемые: sin^2(x) - 2cos^2(x) + sin(x)cos(x) = 0. Факторизуем выражение: (sin(x) + cos(x))(sin(x) - 2cos(x)) = 0. Таким образом, получаем два уравнения: sin(x) + cos(x) = 0 и sin(x) - 2cos(x) = 0.

3) Рассмотрим выражение sin^4(x) - cos^4(x) = sin^2(x) + 4. Перепишем его в виде (sin^2(x) - cos^2(x))(sin^2(x) + cos^2(x)) = sin^2(x) + 4. Так как sin^2(x) + cos^2(x) = 1, то получаем (sin^2(x) - cos^2(x)) = sin^2(x) + 4. Упростим его: -cos^2(x) = 4. Умножим обе части уравнения на -1: cos^2(x) = -4. Так как квадрат косинуса не может быть отрицательным, то данное уравнение не имеет решений.

4) Рассмотрим выражение 1 - 3cos^2(x) = 2sin(x) + cos(x). Перепишем его в виде 3cos^2(x) + cos(x) - 2sin(x) - 1 = 0. Раскроем скобки и объединим одинаковые слагаемые: 3cos^2(x) + cos(x) - 2sin(x) - 1 = 0. Обратим внимание, что данное уравнение является квадратным относительно cos(x). Решим его с помощью дискриминанта: D = 1 - 4(3)(-2) = 25. Так как D > 0, то уравнение имеет два корня: cos(x) = (-1 ± √25) / (2 * 3). Упростим выражение: cos(x) = (-1 ± 5) / 6. Таким образом, получаем два уравнения: cos(x) = -2/3 и cos(x) = 2/3. Решая эти уравнения, получим значения для x: x = arccos(-2/3) и x = arccos(2/3).