Question

Помогите решить иррациональное неравенство: sqrt(2+x-x^2)>-1

Answer 1

подкоренное выражение неотрицательно

-x^2+x+2>=0

x^2-x-2<=0

x1=2

x2=-1

значение корня неотрицательно, следовательно решением является промежуток

[-1;2]

Answer 2

Давайте решим это иррациональное неравенство:

\[ \sqrt{2 + x - x^2} > -1 \]

Первым шагом давайте исключим корни из неравенства, возведя обе части в квадрат. Помним, что при этом мы должны удостовериться, что знаки сохраняются, так как возведение в квадрат может менять порядок неравенства:

\[ 2 + x - x^2 > (-1)^2 \]

Упростим выражение:

\[ 2 + x - x^2 > 1 \]

Теперь приведем все слагаемые в правой части уравнения в одну группу:

\[ -x^2 + x + 1 > 0 \]

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать метод дискриминанта для определения, когда уравнение будет положительным:

Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), где у нас уравнение вида \(ax^2 + bx + c\).

В нашем случае: \(a = -1\), \(b = 1\), \(c = 1\)

\[D = 1^2 - 4(-1)(1) = 1 + 4 = 5\]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня. Следовательно, наше уравнение имеет два решения.

Теперь найдем сами корни уравнения:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{-2}\]

Таким образом, у нас есть два корня: \(x_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\) и \(x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\).

Теперь определим знаки в каждом из интервалов, образованных этими корнями. Для этого мы выберем тестовую точку в каждом интервале и подставим ее в исходное неравенство:

1. \(x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\) (возьмем, например, \(x = 0\)):

\[ -0^2 + 0 + 1 > 0 \quad \text{(верно)} \]

2. \(\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) (возьмем, например, \(x = 0\)):

\[ -0^2 + 0 + 1 > 0 \quad \text{(верно)} \]

3. \(x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) (возьмем, например, \(x = 2\)):

\[ -2^2 + 2 + 1 > 0 \quad \text{(верно)} \]

Таким образом, неравенство выполняется при \(x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\) и \(x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\).