Question

Найти сумму корней уравнения 4 соs²x/2=1 принадлежащие отрезку [-п; 3п/2]

Answer 1

 4 соs²x/2=1⇒ 4 соs²x/2 -1  =0⇒(2cosx/2-1)(2cosx/2+1)=0⇒1)cosx/2=1/2 2)cosx/2=-1/2⇒1)x/2=+-π/3+2πk  2)x/2=+-2π/3+2πk⇒1)x=+-2π/3+4πk  2)x=+-4π/3+4πk
Σx=-2π/3+2π/3+4π/3=4π/3

Answer 2

Для решения уравнения 4cos²(x/2) = 1 на отрезке [-π, 3π/2], мы сначала должны найти значения x, при которых это уравнение выполняется. Затем мы найдем сумму корней уравнения.

Давайте начнем с решения уравнения 4cos²(x/2) = 1. Для этого нам нужно найти значения x, при которых cos²(x/2) = 1/4.

Мы знаем, что cos²(x) + sin²(x) = 1, поэтому мы можем выразить cos²(x) через sin²(x): cos²(x) = 1 - sin²(x).

Заменим x/2 на t и sin²(x/2) на sin²(t):

cos²(t) = 1 - sin²(t).

Теперь мы можем заменить 1/4 на правой стороне уравнения:

1/4 = 1 - sin²(t).

Перенесем sin²(t) на левую сторону:

sin²(t) = 1 - 1/4.

sin²(t) = 3/4.

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

sin(t) = ±√(3/4).

sin(t) = ±√3/2.

Теперь найдем значения t, удовлетворяющие этому уравнению.

t = arcsin(√3/2).

t = π/3.

или

t = π - arcsin(√3/2).

t = 2π/3.

Теперь мы можем вернуться к исходному уравнению и найти значения x:

x/2 = π/3.

x = 2π/3.

или

x/2 = 2π/3.

x = 4π/3.

Теперь у нас есть два значения x, которые удовлетворяют исходному уравнению на отрезке [-π, 3π/2]: x = 2π/3 и x = 4π/3.

Теперь найдем сумму корней:

Сумма корней = x₁ + x₂ = (2π/3) + (4π/3) = 6π/3 = 2π.

Ответ: Сумма корней уравнения 4cos²(x/2) = 1 на отрезке [-π, 3π/2] равна 2π.