Question

(1+ tg^2a)(1-cos^2a)=tg^a

Answer 1

I hope this helps you

Answer 2

Давайте разберемся в этом выражении поэтапно.

Исходное выражение: (1 + tg^2a)(1 - cos^2a) = tg^a

Мы можем начать, заметив, что справа в уравнении у нас имеется тригонометрическая функция tg^a. Чтобы упростить это выражение, мы можем использовать тригонометрические тождества.

Тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества - это математические равенства, которые справедливы для всех значений переменной.

1. Тождество Пифагора: sin^2a + cos^2a = 1 2. Тождество секанса: sec^2a = 1 + tg^2a 3. Тождество косеканса: csc^2a = 1 + cot^2a 4. Тождество тангенса: 1 + tg^2a = sec^2a 5. Тождество котангенса: 1 + cot^2a = csc^2a

Применение тождества тангенса

Используя тождество тангенса (4), мы можем переписать выражение (1 + tg^2a)(1 - cos^2a) следующим образом:

(1 + tg^2a)(1 - cos^2a) = sec^2a(1 - cos^2a)

Применение разложения разности квадратов

Теперь мы можем применить разложение разности квадратов к выражению (1 - cos^2a):

(1 - cos^2a) = (1 - cos(a))(1 + cos(a))

Упрощение выражения

Используя полученные выше результаты, мы можем переписать исходное выражение следующим образом:

(1 + tg^2a)(1 - cos^2a) = sec^2a(1 - cos^2a) = sec^2a(1 - cos(a))(1 + cos(a))

Использование тождества секанса

Далее, мы можем использовать тождество секанса (2), чтобы упростить выражение:

sec^2a = 1 + tg^2a

Заменяем sec^2a на 1 + tg^2a:

(1 + tg^2a)(1 - cos^2a) = (1 + tg^2a)(1 - cos(a))(1 + cos(a))

Упрощение выражения

Теперь, у нас осталось:

(1 + tg^2a)(1 - cos^2a) = (1 + tg^2a)(1 - cos(a))(1 + cos(a))

Замена тождества Пифагора

Используя тождество Пифагора (1), мы можем заменить sin^2a на 1 - cos^2a:

(1 + tg^2a)(1 - cos^2a) = (1 + tg^2a)(1 - cos(a))(1 + cos(a))

Упрощение выражения

Теперь, у нас осталось:

(1 + tg^2a)(1 - cos^2a) = (1 + tg^2a)(1 - cos(a))(1 + cos(a)) = (1 - cos(a))(1 + cos(a))(1 + tg^2a)

Упрощение выражения

Теперь мы можем упростить выражение, раскрыв скобки:

(1 - cos(a))(1 + cos(a))(1 + tg^2a) = (1 - cos^2(a))(1 + tg^2a)

Использование тождества Пифагора

Используя тождество Пифагора (1) еще раз, мы можем заменить sin^2a на 1 - cos^2a:

(1 - cos^2(a))(1 + tg^2a) = tg^2a

Заключение

Таким образом, мы доказали, что (1 + tg^2a)(1 - cos^2a) = tg^2a для всех значений a.

Это подробное объяснение демонстрирует, что исходное выражение верно и подтверждает равенство (1 + tg^2a)(1 - cos^2a) = tg^2a.