Question

при каких целых а оба корня уравнения x^2+ax^2+6=0 являются целыми числами?

Answer 1

Очевидно очепятка
$x^2+ax+6=0$
По теоереме Виета
$x_1+x_2=-a; x_1x_2=6$
так как корни целые, то отсюда следует, что они делители числа 6, так как число 6 в произведение двух целых чисел можно представить следующими образами
6=1*6=2*3=(-1)*(-6)=(-2)*(-3) с точностью до перестановки множителей
то возможные значения числа а, отсюда
$a=-(x_1+x_2);a_1=-(1+6)=-7;\\\\a_2=-(2+3)=-5;\\\\a_3=-(-1+(-6))=7;\\\\a_4=-(-2+(-3))=5;$
ответ: -7;-5;5;7

Answer 2

Чтобы найти условия, при которых оба корня уравнения x^2 + ax^2 + 6 = 0 являются целыми числами, мы можем использовать формулу дискриминанта.

Дискриминант D для данного уравнения равен D = a^2 - 4*1*6 = a^2 - 24.

Чтобы корни были целыми числами, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант D был квадратом целого числа.

То есть, D = k^2, где k - целое число.

Тогда a^2 - 24 = k^2.

Мы можем переписать это уравнение в виде a^2 - k^2 = 24.

Это является разностью квадратов, которую можно факторизовать: (a - k)(a + k) = 24.

Теперь мы можем рассмотреть все возможные значения a и k, при которых это уравнение имеет целочисленные решения.

Изучив все возможные комбинации целых чисел, мы приходим к следующим значениям:

1) a - k = 1, a + k = 24. Решение: a = 12, k = 11. 2) a - k = 2, a + k = 12. Решение: a = 7, k = 5. 3) a - k = 3, a + k = 8. Решение: a = 5, k = 1. 4) a - k = 4, a + k = 6. Решение: a = 5, k = 1. 5) a - k = 6, a + k = 4. Решение: a = 5, k = 1. 6) a - k = 8, a + k = 3. Решение: a = 5, k = 1. 7) a - k = 12, a + k = 2. Решение: a = 7, k = 5. 8) a - k = 24, a + k = 1. Решение: a = 12, k = 11.

Таким образом, когда a = 5, 7, 12 и k = 1, 5, 11, оба корня уравнения x^2 + ax^2 + 6 = 0 будут целыми числами.