Question

Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии:448;112;28;...найдите сумму первых четырех ее членов.

Answer 1

$q= \frac{b_2}{b_1}= \frac{112}{448}= \frac{1}{4}$

$b_4=b_3\cdot q=28\cdot \frac{1}{4}=7 \\ \\ S_4=b_1+b_2+b_3+b_4=448+112+28+7=595$

Answer 2

Для нахождения суммы первых четырех членов геометрической прогрессии нужно знать формулу суммы членов такой прогрессии. Общий член геометрической прогрессии выражается формулой:

\[a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\]

где: - \(a_n\) - n-й член прогрессии, - \(a_1\) - первый член прогрессии, - \(r\) - знаменатель прогрессии, - \(n\) - номер члена прогрессии.

В данном случае у нас даны первые три члена прогрессии:

\[a_1 = 448\]

\[a_2 = 112\]

\[a_3 = 28\]

Из этих данных можно выразить знаменатель \(r\). Для этого можно поделить любой следующий член прогрессии на предыдущий:

\[r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{112}{448} = \frac{1}{4}\]

Теперь мы можем использовать эту информацию для нахождения четвертого члена прогрессии (\(a_4\)) и суммы первых четырех членов.

\[a_4 = a_1 \cdot r^{(4-1)} = 448 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 = 448 \cdot \frac{1}{64} = 7\]

Таким образом, четвертый член прогрессии \(a_4\) равен 7.

Теперь мы можем найти сумму первых четырех членов прогрессии. Формула суммы геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{a_1 \cdot (r^n - 1)}{r - 1}\]

где: - \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии.

Подставляем значения:

\[S_4 = \frac{448 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4 - 1}{\frac{1}{4} - 1}\]

\[S_4 = \frac{448 \cdot \frac{1}{256} - 1}{-\frac{3}{4}}\]

\[S_4 = \frac{\frac{448}{256} - 1}{-\frac{3}{4}}\]

\[S_4 = \frac{\frac{7}{4} - 1}{-\frac{3}{4}}\]

\[S_4 = \frac{\frac{3}{4}}{-\frac{3}{4}}\]

\[S_4 = -1\]

Таким образом, сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна -1.