Question

Докажите, что если в n-угольник можно вписать окружность, то его площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.

Answer 1

Соедините вершины многоугольника с центром вписанной окружности. Получим треугольники с одинаковой высотой равной R. Площадь одного треугольника равна половине произведения стороны-касательной и R. Сумма площадей всех треугольников есть искомая площадь и равна 1/2 PxR

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся следующими фактами:

1. Вписанная окружность в n-угольник касается всех его сторон. 2. Радиус вписанной окружности является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к одной из сторон n-угольника, и делит эту сторону на две равные части. 3. Для любого треугольника с вписанной окружностью выполняется следующее соотношение: площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр треугольника.

Итак, рассмотрим n-угольник, в который можно вписать окружность. Пусть его сторона равна a, а радиус вписанной окружности равен r. Тогда n-угольник можно разбить на n треугольников, проведя из центра окружности линии, соединяющие его центр с вершинами n-угольника.

Площадь каждого из этих треугольников равна произведению радиуса r на полупериметр треугольника. Так как весь n-угольник состоит из n таких треугольников, то его площадь равна сумме площадей этих треугольников.

Так как каждый треугольник имеет одинаковую площадь, то сумма их площадей равна произведению площади одного треугольника на количество треугольников, то есть на n.

Площадь одного треугольника равна произведению радиуса r на полупериметр треугольника, т.е. S = r * (a + a + a) / 2 = r * 3a / 2.

Таким образом, площадь n-угольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности, т.е. S = n * r * 3a / 2 = n * r * p, где p - полупериметр n-угольника.

Таким образом, мы доказали, что площадь n-угольника, в который можно вписать окружность, равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.

Answer 3

Для доказательства данного утверждения воспользуемся следующими фактами:

1. Радиус окружности, вписанной в n-угольник, является радиусом его вписанной окружности. 2. Полупериметр n-угольника равен сумме длин его сторон, деленной на 2.

Пусть n-угольник имеет стороны a1, a2, ..., an и радиус r.

Так как вписанная окружность касается всех сторон n-угольника, то можно провести радиусы из центра окружности к точкам касания с каждой стороной. По свойству касательной, каждый такой радиус будет перпендикулярен соответствующей стороне и разделит ее на две равные части.

Таким образом, каждая сторона n-угольника разделена на две равные части радиусом вписанной окружности. Пусть точка деления находится на расстоянии h от вершины n-угольника.

Тогда длина каждой стороны n-угольника равна a = 2h.

Полупериметр n-угольника равен сумме длин его сторон, деленной на 2:

P/2 = (a1 + a2 + ... + an)/2 = (2h + 2h + ... + 2h)/2 = n * h.

Также известно, что площадь n-угольника можно вычислить как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности, деленное на 2:

S = (P * r)/2.

Подставляя выражение для полупериметра, получим:

S = (n * h * r)/2.

Так как каждая сторона n-угольника равна a = 2h, то можно выразить h через радиус r:

h = r * tg(π/n).

Подставляя это выражение для h в формулу для площади, получим:

S = (n * r * r * tg(π/n))/2.

Используя тригонометрическое тождество tg(π/n) = 2 * tg(π/2n), получим:

S = (n * r * r * 2 * tg(π/2n))/2 = n * r * r * tg(π/2n).

Таким образом, мы доказали, что площадь n-угольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.