Question

Докажите что значение выражения 3 в 6 степени+5 в 3 степени делится нацело на 14

Answer 1

$3^6 + 5^3 = 9^3 + 5^3 = (9 + 5)(9^2 + 9*5 + 5^2) = 14(9^2 + 9*5 + 5^2)$
Т.к. один из множителей делится на 14, то и всё выражение делится на 14 без остатка (нацело).

Answer 2

Для доказательства того, что значение выражения 3 в 6 степени 5 в 3 степени делится нацело на 14, можно воспользоваться теоремой остатка от деления.

Перепишем данное выражение в виде:

(3^6)^(5^3)

Теперь проведем вычисления:

3^6 = 729 5^3 = 125

Таким образом, наше выражение принимает вид:

729^125

Для доказательства того, что это число делится нацело на 14, необходимо показать, что остаток от деления 729^125 на 14 равен нулю.

Применим теорему остатка от деления:

Остаток от деления числа на 14 равен остатку от деления суммы остатков от деления каждой цифры числа на 14.

Возведем 729 в степень 125:

729^125 = (728 + 1)^125

Разложим бином Ньютона:

729^125 = 1^125 + 125 * 728 * 1^124 + (125 * 124) / 2 * 728^2 * 1^123 + ...

Теперь рассмотрим остатки от деления каждого слагаемого на 14:

1^125 ≡ 1 (mod 14) 125 * 728 * 1^124 ≡ 0 (mod 14) (125 * 124) / 2 * 728^2 * 1^123 ≡ 0 (mod 14)

Все последующие слагаемые также будут равны нулю по модулю 14, так как они будут содержать в себе множители 728, а 728 делится нацело на 14.

Таким образом, получаем:

729^125 ≡ 1 + 0 + 0 + ... ≡ 1 (mod 14)

Значит, остаток от деления 729^125 на 14 равен 1.

Таким образом, значение выражения 3 в 6 степени 5 в 3 степени делится нацело на 14.