Question

Знайдіть найменше і найбільше значення функції на проміжку: f(x) = знаменник x^2 + 7x чисельник x - 9; xє [ -4 ; 1 ]

Answer 1

Використання похідної

Answer 2

Для знаходження найменшого і найбільшого значення функції на заданому проміжку потрібно спочатку знайти точки, в яких функція може досягати екстремумів. Для цього розглянемо похідну функції та знайдемо її нулі.

Знаходження похідної функції:

Похідна функції f(x) може бути знайдена за допомогою правила диференціювання дробових функцій. Давайте знайдемо похідну функції f(x):

$$f'(x) = \frac{(чисельник' \cdot знаменник) - (чисельник \cdot знаменник')}{знаменник^2}$$

Знаменник' в цьому випадку є похідною многочлена знаменника, а чисельник' - похідною многочлена чисельника.

Знаходимо похідну чисельника та знаменника:

Чисельник функції f(x) є x - 9, тому його похідна дорівнює 1. Знаменник функції f(x) є x^2 + 7x, тому його похідна може бути знайдена за допомогою правила диференціювання многочленів. Застосуємо правило диференціювання многочленів і знайдемо похідну знаменника:

$$\frac{d}{dx}(x^2 + 7x) = 2x + 7$$

Підставляємо значення похідних у формулу для f'(x):

Замінимо похідні чисельника та знаменника у формулі для f'(x):

$$f'(x) = \frac{(1 \cdot (x^2 + 7x)) - ((x - 9) \cdot (2x + 7))}{(x^2 + 7x)^2}$$

Знаходимо нулі похідної:

Знайдемо значення x, для яких похідна f'(x) дорівнює 0 або не існує. Ці значення x вказують на можливі точки, в яких функція може досягати екстремумів.

$$f'(x) = 0$$

$$\frac{(1 \cdot (x^2 + 7x)) - ((x - 9) \cdot (2x + 7))}{(x^2 + 7x)^2} = 0$$

$$((x^2 + 7x) - (2x + 7)(x - 9)) = 0$$

$$x^2 + 7x - (2x^2 - 16x + 7x - 63) = 0$$

$$-x^2 - 16x + 63 = 0$$

Розв'язавши це квадратне рівняння, отримаємо два значення x:

$$x_1 = 3$$ $$x_2 = -7$$

Таким чином, точки x = 3 та x = -7 можуть бути точками екстремуму функції.

Знаходимо значення функції в кінцях проміжку і в точках екстремуму:

Тепер, коли ми знайшли можливі точки екстремуму функції, ми можемо знайти значення функції f(x) в цих точках та на кінцях заданого проміжку.

$$f(-4) = \frac{-4 - 9}{(-4)^2 + 7(-4)}$$ $$f(1) = \frac{1 - 9}{1^2 + 7(1)}$$ $$f(-7) = \frac{-7 - 9}{(-7)^2 + 7(-7)}$$ $$f(3) = \frac{3 - 9}{3^2 + 7(3)}$$

Підставимо значення і обчислимо:

$$f(-4) = \frac{-13}{16 - 28} = \frac{-13}{-12} = \frac{13}{12}$$ $$f(1) = \frac{-8}{1 + 7} = \frac{-8}{8} = -1$$ $$f(-7) = \frac{-16}{49 - 49} = \frac{-16}{0}$$ $$f(3) = \frac{-6}{9 + 21} = \frac{-6}{30} = -\frac{1}{5}$$

Знаходимо найменше і найбільше значення функції:

Щоб знайти найменше і найбільше значення функції на проміжку [-4, 1], порівняємо значення функції в кінцях проміжку та в точках екстремуму.

Ми маємо наступні значення функції:

$$f(-4) = \frac{13}{12}$$ $$f(1) = -1$$ $$f(-7) = \frac{-16}{0}$$ $$f(3) = -\frac{1}{5}$$

Зауважимо, що значення f(-7) не існує (відбувається ділення на нуль) і тому не може бути найбільшим або найменшим значенням функції.

Таким чином, найменше значення функції на проміжку [-4, 1] дорівнює -1, а найбільше значення відсутнє.

Отже, найменше значення функції на даному проміжку дорівнює -1.