Question

Решите уравнение:x^3+3x^2-9x-27=0

Answer 1

x3+3x2-9x-27=0

x²(x+3)-9(x+3)=0

(x²-9)(x+3)=0

(x-3)(x+3)(x+3)=0

x=3

x=-3

Answer 2

Для решения уравнения x^3 + 3x^2 - 9x - 27 = 0, мы можем использовать различные методы, включая методы факторизации, метод Ньютона или метод графиков. Давайте рассмотрим каждый из них.

Метод факторизации:

Первым шагом в методе факторизации является поиск одного корня уравнения. Мы можем использовать метод подбора или графиков для этого. Поскольку уравнение имеет целочисленные коэффициенты, мы можем начать с проверки возможных целочисленных корней по теореме о целых корнях. Для данного уравнения, мы можем начать с проверки делителей 27, то есть 1, 3, 9 и 27.

После нахождения одного корня, допустим x = a, мы можем использовать деление синтетическим способом для разложения уравнения на более простые множители. Затем, получившийся однократный множитель можно факторизовать с использованием метода группировки или других методов факторизации.

Метод Ньютона:

Если у нас есть начальное приближение к одному из корней уравнения, мы можем использовать метод Ньютона для нахождения более точного значения этого корня. В этом методе мы используем итерационный процесс для приближенного нахождения корней.

Метод графиков:

Мы также можем использовать метод графиков для нахождения корней уравнения. Для этого мы строим график функции y = x^3 + 3x^2 - 9x - 27 и находим точки пересечения графика с осью x, которые будут являться корнями уравнения.

Будем использовать метод факторизации для решения данного уравнения.

Решение:

Для начала, давайте попробуем найти один корень уравнения. Мы будем использовать метод подбора и проверим делители 27: 1, 3, 9 и 27.

Подставим x = 1: (1)^3 + 3(1)^2 - 9(1) - 27 = 1 + 3 - 9 - 27 = -32

Подставим x = 3: (3)^3 + 3(3)^2 - 9(3) - 27 = 27 + 27 - 27 - 27 = 0

Мы нашли корень уравнения x = 3. Теперь мы можем использовать деление синтетическим способом для разложения уравнения на более простые множители.

Деление синтетическим способом: ``` 3 | 1 3 -9 -27 | 3 18 27 ------------------- 1 6 9 0 ```

Получили разложение уравнения x^3 + 3x^2 - 9x - 27 = (x - 3)(x^2 + 6x + 9) = 0.

Теперь мы можем факторизовать полученное квадратное уравнение x^2 + 6x + 9 = 0.

Факторизация квадратного уравнения: (x + 3)(x + 3) = (x + 3)^2 = 0

Таким образом, решение исходного уравнения x^3 + 3x^2 - 9x - 27 = 0: x = 3 (корень кратности 1) x = -3 (корень кратности 2)