Question

Разложите на множители: sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x.

Answer 1

$...=2\sin 2x\cos x+\sin 2x+2\sin 2x\cos 2x=\\ =\sin 2x(2\cos x+1+\cos 2x)=\sin2x(2\cos x+2\cos^2x)=\\ =2\sin 2x\cos x(1+\cos x)$

Answer 2

Для разложения выражения sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x на множители, мы можем использовать формулу суммы синусов:

sin A + sin B = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)

Применим эту формулу к каждой паре суммируемых функций:

sin x + sin 2x = 2sin(3x/2)cos(x/2) sin 3x + sin 4x = 2sin(7x/2)cos(x/2)

Теперь у нас остается выражение: 2sin(3x/2)cos(x/2) + 2sin(7x/2)cos(x/2)

Мы можем сгруппировать общий множитель 2cos(x/2):

2cos(x/2)(sin(3x/2) + sin(7x/2))

Таким образом, разложение выражения sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x на множители будет:

2cos(x/2)(sin(3x/2) + sin(7x/2))