Question

Решить уравнения и неравенства1)log₄ x+ log₄ (x-6)=2 2) 2Cos² x-Sin x-1=0 3) >9

Answer 1

1) $log_{4}(x(x-6)) = log_{4}16$
$x(x-6)=16$
$x^{2}-6x-16=0$
$D=36+4*16=100$
$x_{1} = \frac{6-10}{2}=-2$ - посторонний корень (не удовлетворяет ОДЗ)
$x_{2} = \frac{6+10}{2}=8$

ОДЗ: x>0; x-6>0, x>6
Ответ: x=8

2) $2*(1-sin^{2}(x))-sinx-1=0$
$2-2sin^{2}(x)-sinx-1=0$
$2sin^{2}(x)+sinx-1=0$
$D=1+8=9$
1) $sinx= \frac{-1+3}{4} =- \frac{2}{4} =- \frac{1}{2}$
$x=- \frac{ \pi }{6} +2 \pi k$
$x=- \frac{5 \pi }{6} +2 \pi k$
2) $sinx= \frac{-1-3}{4} =-1$
$x=- \frac{ \pi }{2} +2 \pi k$

3) $(3)^{-x-3} > 3^{2}$
$-x-3>2, -x>5, x<-5$

Answer 2

Решение уравнений и неравенств

1) Уравнение log₄(x) + log₄(x-6) = 2 2) Уравнение 2Cos²(x) - Sin(x) - 1 = 0 3) Неравенство x > 9

1) Уравнение log₄(x) + log₄(x-6) = 2

Для решения этого уравнения, мы можем использовать свойства логарифмов. В данном случае, мы можем объединить логарифмы с одинаковым основанием и применить правило произведения логарифмов.

log₄(x) + log₄(x-6) = 2

log₄(x*(x-6)) = 2

Теперь мы можем записать уравнение в эквивалентной экспоненциальной форме:

4² = x*(x-6)

16 = x² - 6x

Переносим все члены в левую сторону:

x² - 6x - 16 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Мы можем использовать факторизацию или квадратное уравнение, чтобы найти его корни. В данном случае, мы воспользуемся квадратным уравнением:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

a = 1, b = -6, c = -16

x = (6 ± √((-6)² - 4(1)(-16))) / 2(1)

x = (6 ± √(36 + 64)) / 2

x = (6 ± √100) / 2

x = (6 ± 10) / 2

x₁ = (6 + 10) / 2 = 8

x₂ = (6 - 10) / 2 = -2

Таким образом, уравнение log₄(x) + log₄(x-6) = 2 имеет два решения: x = 8 и x = -2.

2) Уравнение 2Cos²(x) - Sin(x) - 1 = 0

Для решения этого уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства тригонометрических функций.

Данное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно Cos(x):

2Cos²(x) - Sin(x) - 1 = 0

Мы можем использовать тригонометрическую формулу Cos²(x) = 1 - Sin²(x) для подстановки и упрощения уравнения:

2(1 - Sin²(x)) - Sin(x) - 1 = 0

2 - 2Sin²(x) - Sin(x) - 1 = 0

-2Sin²(x) - Sin(x) + 1 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно Sin(x). Для этого мы можем использовать квадратное уравнение:

a = -2, b = -1, c = 1

Sin(x) = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Sin(x) = (1 ± √((-1)² - 4(-2)(1))) / 2(-2)

Sin(x) = (1 ± √(1 + 8)) / -4

Sin(x) = (1 ± √9) / -4

Sin(x) = (1 ± 3) / -4

Sin(x) = -1/2, 1

Теперь мы можем найти значения x, используя обратные тригонометрические функции:

x₁ = arcsin(-1/2) x₂ = arcsin(1)

Таким образом, уравнение 2Cos²(x) - Sin(x) - 1 = 0 имеет два решения: x = arcsin(-1/2) и x = arcsin(1).

3) Неравенство x > 9

Данное неравенство означает, что x должно быть больше 9. Это простое неравенство, и решение будет все числа, которые больше 9. То есть, x ∈ (9, +∞).