Question

cos(90-a)cos(180-a)/sin(п/2+a)sin(180-a)sin2(П+a)+cos2(3П/2-a)Упростить√2*sin a - 2sin(a-п/4)sin(a+b)+sin(a-b)/cos(a+b)+cos(a-b)

Answer 1

1) (sina*(-cosa))/(cosa*sina)=-1;

2) sin 2a-cos2a=sqrt2*sin(x+pi/4);

Answer 2

Для упрощения данного выражения, мы можем использовать тригонометрические тождества и правила преобразования тригонометрических функций. Давайте разберемся пошагово.

1. Разложение синуса суммы и разности

Мы можем использовать тригонометрические формулы для разложения синуса суммы и разности: - синус суммы: sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b) - синус разности: sin(a - b) = sin(a) * cos(b) - cos(a) * sin(b)

2. Разложение косинуса суммы и разности

Аналогично, мы можем использовать тригонометрические формулы для разложения косинуса суммы и разности: - косинус суммы: cos(a + b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b) - косинус разности: cos(a - b) = cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b)

3. Упрощение исходного выражения

Применим эти формулы и начнем упрощать исходное выражение:

1. cos(90 - a) = sin(a) (используем формулу для косинуса дополнения) 2. cos(180 - a) = -cos(a) (используем формулу для косинуса дополнения) 3. sin(π/2 + a) = cos(a) (используем формулу для синуса суммы) 4. sin(180 - a) = sin(a) (используем формулу для синуса дополнения) 5. sin^2(π + a) = sin^2(a) (используем формулу для синуса дополнения) 6. cos^2(3π/2 - a) = sin^2(a) (используем формулу для косинуса дополнения)

Подставляем эти значения в исходное выражение:

√2 * sin(a) - 2sin(a - π/4) * sin(a + b) + sin(a - b) / cos(a + b) + cos(a - b)

4. Упрощение выражений внутри синусов и косинусов

Теперь рассмотрим каждое выражение внутри синусов и косинусов и попробуем упростить:

1. sin(a - π/4) Мы можем использовать формулу для синуса разности, чтобы упростить это выражение: sin(a - π/4) = sin(a) * cos(π/4) - cos(a) * sin(π/4) cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2 (по определению значения синуса и косинуса 45 градусов) sin(π/4) = 1/√2 cos(π/4) = 1/√2 Подставляем эти значения: sin(a - π/4) = sin(a) * (1/√2) - cos(a) * (1/√2) sin(a - π/4) = (sin(a) - cos(a)) / √2

2. sin(a + b) Оставляем это выражение без изменений, так как нет возможности его упростить.

3. sin(a - b) Оставляем это выражение без изменений, так как нет возможности его упростить.

4. cos(a + b) Оставляем это выражение без изменений, так как нет возможности его упростить.

5. cos(a - b) Оставляем это выражение без изменений, так как нет возможности его упростить.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

√2 * sin(a) - 2 * (sin(a) - cos(a)) / √2 * (sin(a + b)) + (sin(a - b)) / (cos(a + b)) + cos(a - b)

5. Упрощение дробей

Для упрощения дробей, мы можем умножить числитель и знаменатель на общий знаменатель. В данном случае, общий знаменатель - это √2 * (cos(a + b)):

√2 * sin(a) * √2 * cos(a + b) - 2 * (sin(a) - cos(a)) * (sin(a + b)) + (sin(a - b)) * √2 * (cos(a + b)) + cos(a - b) * √2 * (cos(a + b)) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- √2 * (cos(a + b))

6. Упрощение синусов и косинусов

Теперь рассмотрим каждое выражение внутри синусов и косинусов и попробуем упростить:

1. sin(a) * √2 * cos(a + b) Мы можем использовать формулу для синуса суммы, чтобы упростить это выражение: sin(a) * √2 * cos(a + b) = (sin(a) * cos(a) - cos(a) * sin(a)) * √2 * cos(b) sin(a) * cos(a) - cos(a) * sin(a) = 0 (по свойству синуса и косинуса) Подставляем это значение: sin(a) * √2 * cos(a + b) = 0

2. sin(a) - cos(a) * sin(a + b) Оставляем это выражение без изменений, так как нет возможности его упростить.

3. sin(a - b) * √2 * cos(a + b) Оставляем это выражение без изменений, так как нет возможности его упростить.

4. cos(a - b) * √2 * cos(a + b) Оставляем это выражение без изменений, так как нет возможности его упростить.

Подставляем упрощенные выражения в исходное уравнение:

0 - 2 * (sin(a) - cos(a)) * (sin(a + b)) + (sin(a - b)) * √2 * (cos(a + b)) + cos(a - b) * √2 * (cos(a + b)) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- √2 * (cos(a + b))

7. Упрощение выражений внутри синусов и косинусов (продолжение)

Теперь рассмотрим каждое выражение внутри синусов и косинусов и попробуем упростить:

1. sin(a) - cos(a) Оставляем это выражение без изменений, так как нет возможности его упростить.

2. sin(a + b) Оставляем это выражение без изменений, так как нет возможности его упростить.

3. sin(a - b) Оставляем это выражение без изменений, так как нет возможности его упростить.

4. cos(a - b) Оставляем это выражение без изменений, так как нет возможности его упростить.

Подставляем упрощенные выражения в исходное уравнение:

0 - 2 * (sin(a) - cos(a)) * (sin(a + b)) + (sin(a - b)) * √2 * (cos(a + b)) + cos(a - b) * √2 * (cos(a + b)) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- √2 * (cos(a + b))

Итак, упрощенное выражение равно:

(0 - 2 * (sin(a) - cos(a)) * (sin