Question

Найдите корни уравнения sin(4x/3+pi/6)=-1/2 , принадлежащие промежутку [-2pi; 2pi)

Answer 1

1)4x/3+π/6=7π/6+2n,n∈z
4x/3=π+2πn,n∈z
x=3π/4+3πn/2,n∈z
-2π≤3π/4+3πn/2<2π
-8≤3+6n<8
-11≤6n<5
-11/6≤n<5/6
n=-1⇒x=3π/4-3π/2=-3π/4
n=0⇒x=3π/4
2)4x/3+π/6=11π/6+2πk,k∈z
4x/3=5π/3+2πk,k∈z
x=5π/4+3πk/2;k∈z
-2π≤5π/4+3πk/2<2π
-8≤5+6k<8
-13≤6k<3
-13/6≤k<1/2
k=-2⇒x=5π/4-3π=-7π/4
k=-1⇒x=5π/4-3π/2=-π/4
k=0⇒x=5π/4

Answer 2

Для решения уравнения sin(4x/3 + π/6) = -1/2 в промежутке [-2π, 2π) мы можем использовать методы тригонометрических уравнений и периодичности функции синуса.

Первый шаг: Нахождение общего решения

Для начала, рассмотрим уравнение в виде sin(θ) = -1/2. Мы знаем, что для этого уравнения существует два основных решения: π/6 и 5π/6, так как sin(π/6) = sin(5π/6) = 1/2.

С учетом периодичности функции синуса, мы можем выразить общее решение для sin(θ) = -1/2 как: θ = π/6 + 2πn, где n - целое число, или θ = 5π/6 + 2πn, где n - целое число.

Второй шаг: Приведение к общему решению

Теперь мы можем преобразовать уравнение sin(4x/3 + π/6) = -1/2 к виду sin(θ) = -1/2, где θ = 4x/3 + π/6.

Используя общее решение для sin(θ) = -1/2, получим: 4x/3 + π/6 = π/6 + 2πn, где n - целое число, или 4x/3 + π/6 = 5π/6 + 2πn, где n - целое число.

Третий шаг: Нахождение частных решений в заданном промежутке

Теперь мы можем найти частные решения, принадлежащие промежутку [-2π, 2π), путем подстановки значений n и нахождения соответствующих x.

Для первого случая (4x/3 + π/6 = π/6 + 2πn): 4x/3 = 2πn, или x = 3/4 * 2πn = 3/2πn.

Для второго случая (4x/3 + π/6 = 5π/6 + 2πn): 4x/3 = 4π/3 + 2πn, или x = 3/4 * (4π/3 + 2πn) = 4π/3 + 3/2πn.

Ответ:

Таким образом, корни уравнения sin(4x/3 + π/6) = -1/2, принадлежащие промежутку [-2π, 2π), будут иметь вид: x = 3/2πn, где n - целое число, или x = 4π/3 + 3/2πn, где n - целое число.