Question

Решите уравнение 3sin^2x-7sinxcosx+4cos^2x=0

Answer 1

С полным решением, как надо.

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и преобразования.

Данное уравнение имеет вид: 3sin^2x - 7sinxcosx + 4cos^2x = 0

Мы можем заменить sin^2x на 1 - cos^2x, используя тригонометрическое тождество sin^2x + cos^2x = 1:

3(1 - cos^2x) - 7sinxcosx + 4cos^2x = 0

Раскроем скобки:

3 - 3cos^2x - 7sinxcosx + 4cos^2x = 0

Сгруппируем члены:

7cos^2x - 7sinxcosx - 3cos^2x + 3 = 0

Упростим:

4cos^2x - 7sinxcosx + 3 = 0

Теперь мы можем рассмотреть это уравнение как квадратное уравнение относительно cosx. Пусть z = cosx:

4z^2 - 7sinxz + 3 = 0

Решим это уравнение с помощью квадратного трехчлена:

D = (-7sinx)^2 - 4*4*3 = 49sin^2x - 48

Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня. Если D = 0, то уравнение имеет один корень. Если D < 0, то уравнение не имеет решений.

Так как D = 49sin^2x - 48, то D > 0 при 49sin^2x > 48, а это выполняется, когда sin^2x > 48/49.

Таким образом, мы получаем, что sin^2x > 48/49.

Так как sin^2x является числом от 0 до 1, то это неравенство выполняется только при sin^2x = 1.

Таким образом, sinx = 1 или sinx = -1.

Если sinx = 1, то x = pi/2 + 2k*pi, где k - целое число.

Если sinx = -1, то x = -pi/2 + 2k*pi, где k - целое число.

Таким образом, решения уравнения 3sin^2x - 7sinxcosx + 4cos^2x = 0: x = pi/2 + 2k*pi, x = -pi/2 + 2k*pi, где k - целое число.