Question

Доведіть, що при а ≥ -1 виконується нерівність а³+1 ≥ а²+а

Answer 1

(a+1)(a²-a+1)-a(a+1)≥0
(a+1)(a²-a+1-a)≥0
(a+1)(a²-2a+1)≥0
(a+1)(a-1)²≥0
a=-1  a=1
         _                +                    +
---------------------------------------------------
               -1                      1
a∈[-1;∞)

Answer 2

Щоб довести нерівність а³ + 1 ≥ а² + а при а ≥ -1, ми можемо скористатися алгебраїчними маніпуляціями та властивостями нерівностей.

Перша частина: Доведення а³ + 1 ≥ а² + а при а ≥ -1

1. Почнемо з нерівності а³ + 1 ≥ а² + а. 2. Віднімемо а² та а з обох боків нерівності: а³ - а² - а ≥ -1. 3. Факторизуємо ліву частину нерівності: а(a² - а - 1) ≥ -1. 4. Зауважимо, що добуток а з будь-яким числом дорівнює або більше нуля, або менше нуля, залежно від знаку а. Оскільки ми маємо умову а ≥ -1, то знаємо, що але більше нуля. 5. Тому можемо поділити обидві частини нерівності на а без зміни знаку: a² - а - 1 ≥ -1. 6. Отримаємо наступну нерівність: a² - а ≥ 0.

Друга частина: Доведення a² - a ≥ 0 при a ≥ -1

1. Почнемо з нерівності a² - a ≥ 0. 2. Факторизуємо ліву частину нерівності: a(a - 1) ≥ 0. 3. Знову зауважимо, що добуток а з будь-яким числом дорівнює або більше нуля, або менше нуля, залежно від знаку а. Оскільки ми маємо умову а ≥ -1, то знаємо, що але більше нуля. 4. Тому можемо записати, що а(a - 1) ≥ 0.

Заключна частина: Підсумовування

1. Ми довели, що a(a - 1) ≥ 0 при a ≥ -1. 2. Із попереднього розділу, ми також знаємо, що a² - a ≥ 0 при a ≥ -1. 3. Об'єднавши ці дві нерівності, ми можемо стверджувати, що a(a - 1) ≥ 0 та a² - a ≥ 0 при a ≥ -1. 4. Отже, ми довели, що a³ + 1 ≥ a² + a при a ≥ -1.

Таким чином, нерівність a³ + 1 ≥ a² + a виконується при a ≥ -1.