Question

Составьте приведённое квадратное уравнение с рациональными коэффициентами,если один из его корней равен: а) √ 3 б)√3 - 1 в)-√5 г) 2-√5 Объясните пожалуйста, вообще не понимаю

Answer 1

* * *приведенное квадратное уравнение,коэффициент у x² равен 1) * * *
x² +px +q =0 .
По условию p, q ∈ Q  ( Q -множество рациональных чисел).
По теореме Виета : { x₁ +x₂ = - p ; x₁ *x₂  =q ⇔{ p = -(x₁ +x₂) ; q =x₁ *x₂.
* * * для того, чтобы  p, q были рациональными  корни  должны иметь   вид : x₁ =a +√b ; x₂ =a -√b   , √b -иррациональное число * * *
---
а)
x₂ = √3 ⇒ x₂ = -√3.
p = -( x₁ +x₂) =0  ;
q =x₁ *x₂ =√3 *(-√3) = -3 .
x² -3 = 0 .
---
б)
 x₁ = -1+√3⇒x₂ = -1-√3 .    || иначе  x₂ = -(√3+1) ||
p = -(x₁+x₂) = - ( ( -1+√3)+( -1-√3) )=2 ;
q =x₁ *x₂ = (√3-1)* (-(√3 +1) ) = -((√3) ² -1)= -(3-1) =-2 .
x² +2x -2 = 0 . 
---
в) 
x₁ = 2-√5 ⇒x₂ =2+√5 
p= -(x₁+x₂) = - ( 2-√5+2+√5 )= -4 ;
q =x₁ *x₂ = ( 2-√5)*(2+√5) =2² -(√5)² =4-5 = -1 .
x² -4x -1 =0 . 

Answer 2

Квадратное уравнение с рациональными коэффициентами

Чтобы составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, зная один из его корней, мы можем использовать следующий подход:

1. Пусть x1 будет известным корнем уравнения. 2. Так как квадратные уравнения имеют симметричную природу, второй корень будет симметричным относительно x1. 3. Используя эти два корня, мы можем записать уравнение в виде (x - x1)(x - x2) = 0, где x2 - второй корень.

Теперь рассмотрим каждый из предложенных вариантов и составим соответствующие квадратные уравнения.

а) Если один из корней равен √3: - Пусть x1 = √3. - Так как квадратные уравнения с рациональными коэффициентами имеют симметричную природу, второй корень будет -√3. - Теперь мы можем записать уравнение в виде (x - √3)(x + √3) = 0. - Раскрывая скобки, получаем x^2 - 3 = 0.

б) Если один из корней равен √3 - 1: - Пусть x1 = √3 - 1. - Так как квадратные уравнения с рациональными коэффициентами имеют симметричную природу, второй корень будет -√3 + 1. - Теперь мы можем записать уравнение в виде (x - (√3 - 1))(x + (√3 - 1)) = 0. - Раскрывая скобки, получаем x^2 - 2√3x + 2 = 0.

в) Если один из корней равен -√5: - Пусть x1 = -√5. - Так как квадратные уравнения с рациональными коэффициентами имеют симметричную природу, второй корень будет √5. - Теперь мы можем записать уравнение в виде (x + √5)(x - √5) = 0. - Раскрывая скобки, получаем x^2 - 5 = 0.

г) Если один из корней равен 2 - √5: - Пусть x1 = 2 - √5. - Так как квадратные уравнения с рациональными коэффициентами имеют симметричную природу, второй корень будет 2 + √5. - Теперь мы можем записать уравнение в виде (x - (2 - √5))(x - (2 + √5)) = 0. - Раскрывая скобки, получаем x^2 - 4x + 1 = 0.

Таким образом, квадратные уравнения с рациональными коэффициентами, соответствующие данным корням, будут:

а) x^2 - 3 = 0 б) x^2 - 2√3x + 2 = 0 в) x^2 - 5 = 0 г) x^2 - 4x + 1 = 0

Надеюсь, это помогло вам понять, как составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если один из его корней известен. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!