Question

найдите все значения а при которых неравенство (а+4)х²-2ах+2а-6<0 выполняется, х€R

Answer 1

при а=-4 имеем неравенство

-2*(-4)х+2*(-4)-6<0;

8x-8-6<0;

8x<14;

x<14/8;

при а=-4 неравенство выполняется не для всех действительных значений х.

 

Теперь пусть а не равно -4. Имеем квадратное неравество. Чтобы оно выполнялось для любого действительного х необходимо два условия

первое (коэфициент при x^2 должен быть меньше 0 - ветви параболы опущены вниз)

a+4<0; a<-4

второе (дискриминант исходного неравенства должен быть отрицательным - и тогда парабола лежит под осью абсцисс)

D<0

D=(-2a)^2-4(a+4)*(2a-6)=4a^2-8a^2-8a+96=-4a^2-8a^2+96

-4a^2-8a^2+96<0

a^2+2a-24>0

(a+6)(a-4)>0

a є (-бесконечность; -6)обьединение(4;+бесконечсть)

 

обьединяя получаем ответ: а є (-бесконечность; -6)

 

Answer 2

Для решения данного неравенства, давайте разберемся сначала с его формой. У нас есть неравенство (а + 4)х² - 2ах + 2а - 6 < 0, где х принадлежит множеству действительных чисел (х ∈ R).

Решение неравенства:

Чтобы найти значения а, при которых неравенство выполняется, мы можем использовать методы анализа функций или графического представления. Давайте воспользуемся графическим методом.

1. Построим график функции f(x) = (а + 4)х² - 2ах + 2а - 6. 2. Найдем точки пересечения графика с осью OX, то есть значения х, при которых f(x) = 0. 3. Определим интервалы, на которых функция f(x) < 0.

Построение графика:

Для построения графика функции f(x) = (а + 4)х² - 2ах + 2а - 6, давайте рассмотрим несколько значений а и построим соответствующие графики.

1. При а = 0: - f(x) = 4х² - 6. - Построим график функции f(x) = 4х² - 6.

2. При а = 1: - f(x) = 5х² - 2х - 4. - Построим график функции f(x) = 5х² - 2х - 4.

3. При а = -1: - f(x) = 3х² + 2х - 8. - Построим график функции f(x) = 3х² + 2х - 8.

Анализ графиков:

После построения графиков, мы можем проанализировать, в каких интервалах функция f(x) < 0.

1. При а = 0: - График функции f(x) = 4х² - 6 пересекает ось OX в точках x = -1.5 и x = 1.5. - Функция f(x) < 0 на интервалах (-1.5, 1.5).

2. При а = 1: - График функции f(x) = 5х² - 2х - 4 пересекает ось OX в точках x ≈ -1.2 и x ≈ 1.2. - Функция f(x) < 0 на интервалах (-1.2, 1.2).

3. При а = -1: - График функции f(x) = 3х² + 2х - 8 пересекает ось OX в точках x ≈ -2.3 и x ≈ 1.7. - Функция f(x) < 0 на интервалах (-2.3, 1.7).

Значения а, при которых неравенство выполняется:

Исходя из анализа графиков, мы можем сделать вывод, что неравенство (а + 4)х² - 2ах + 2а - 6 < 0 выполняется при следующих значениях а:

1. Для интервала (-1.5, 1.5): а ∈ (-∞, 0) ∪ (0, +∞). 2. Для интервала (-1.2, 1.2): а ∈ (-∞, 1) ∪ (1, +∞). 3. Для интервала (-2.3, 1.7): а ∈ (-∞, -1) ∪ (-1, +∞).

Таким образом, неравенство (а + 4)х² - 2ах + 2а - 6 < 0 выполняется при значениях а, принадлежащих указанным интервалам.