Question

Известно, что х1 и х 2 корни уравнения х 2 - 9 х + a = 0, х 3 и х4 – корни уравнения х 2 - 29 х + b=0, причем х1, х2, х 3, х4 составляют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите a и b.

Answer 1

Записываем теорему Виета.
x1*(x1+d)=a
x1+(x1+d)=9
(x1+2d)*(x1+3d)=b
x1+2d+x1+3d=29
Четыре уравнения 4 неизвестных. Вперёд!

Answer 2

Уравнение x^2 - 9x + a = 0 имеет корни x1 и x2, а уравнение x^2 - 29x + b = 0 имеет корни x3 и x4. Причем, x1, x2, x3, x4 составляют арифметическую прогрессию.

Для нахождения a и b, воспользуемся формулами для суммы и произведения корней квадратного уравнения.

Сумма корней квадратного уравнения x^2 + px + q = 0 равна -p, а произведение корней равно q.

Известно, что сумма корней уравнения x^2 - 9x + a = 0 равна 9, поэтому -9 = x1 + x2. Также известно, что произведение корней этого уравнения равно a, поэтому a = x1 * x2.

Аналогично, сумма корней уравнения x^2 - 29x + b = 0 равна 29, поэтому -29 = x3 + x4. Произведение корней этого уравнения равно b, поэтому b = x3 * x4.

Так как x1, x2, x3, x4 составляют арифметическую прогрессию, то можно записать следующее соотношение: x2 - x1 = x3 - x2 = x4 - x3.

Пусть d - разность этой арифметической прогрессии. Тогда x2 = x1 + d, x3 = x1 + 2d, x4 = x1 + 3d.

Подставим эти значения в уравнения:

-9 = (x1 + x1 + d) = 2x1 + d -29 = (x1 + 2d + x1 + 3d) = 2x1 + 5d

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными (a и b):

2x1 + d = -9 2x1 + 5d = -29

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы избавиться от x1:

(2x1 + 5d) - (2x1 + d) = -29 - (-9) 4d = -20 d = -5

Теперь найдем x1:

2x1 + d = -9 2x1 - 5 = -9 2x1 = -4 x1 = -2

Теперь мы можем найти a и b:

a = x1 * x2 = -2 * (-2 - 5) = -2 * (-7) = 14 b = x3 * x4 = (-2 + 2d) * (-2 + 3d) = (-2 + 2*(-5)) * (-2 + 3*(-5)) = (-2 - 10) * (-2 - 15) = 12 * 17 = 204

Итак, a = 14 и b = 204.