Question

При каких значениях a многочлен F(x)=2x^4+ax^3-9x^2+23x-20 можно разделить на многочлен G(x)=x^2+3x-a ? Желательно при решении воспользоваться теоремой Безу. ^-это степень.

Answer 1

Согласно теореме Безу остаток от деления полинома на двучлен равен значению полинома в корне этого двучлена,в данной задаче на полином G(x) никаких дополнительных условий не наложено,значит он может быть неприводимым над полем вещественных чисел,однако все равно раскладываться в произведение двучленов вида $G(x)=(x-z)(x-\frac{ }{z})$

Где $\frac{ }{z}$ комплексно сопряжен z.

Полином G(x) примет вид $G(x)=x^2+2Re(z)x+|z|$

Re(z)-вещественная часть z,$|z|=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{|9+4a|}{4}}$-модуль числа z.

Очевидно,что подставляя получившиеся корни в исходный многочлен используя теорему Безу вычисление получается мягко говоря неудобным.

Аналогичная ситуация со схемой Горнера.

А вот при делении полиномов столбиком исходный многочлен представим в виде:

$F(x)=G(x)(2x^2+(a-6)x-(a-3))+(-a-3)x^2+(a^2-6a+23)x-20$

Очевидно,что степень остатка должна быть меньше степени делителя и мы можем остаток разделить на полином G(x),домноженный на (-a-3),тогда для того чтобы остаток от деления был равен нулю,то есть чтобы F(x) делился на G(x) должна выполняться система:

$<span>\left \{ {{a^2-6a+23=-3a-9} \atop {a^2+3a=-20}} \right$

Которая не имеет решений ни в поле действительных,ни в поле комплексных чисел.

Значит ни при каких значениях a полином G(x) не является делителем F(x).

Answer 2

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра a многочлен F(x) = 2x^4 + ax^3 - 9x^2 + 23x - 20 можно разделить на многочлен G(x) = x^2 + 3x - a, мы можем воспользоваться теоремой Безу.

Теорема Безу

Теорема Безу утверждает, что если многочлен F(x) делится на многочлен G(x), то остаток от деления F(x) на G(x) равен нулю. То есть, если F(x) делится на G(x), то F(c) = 0, где c - корень многочлена G(x).

Решение

1. В данном случае у нас есть два многочлена: - F(x) = 2x^4 + ax^3 - 9x^2 + 23x - 20 - G(x) = x^2 + 3x - a

2. Чтобы определить, при каких значениях a многочлен F(x) можно разделить на многочлен G(x), мы должны найти общие корни многочленов F(x) и G(x).

3. Воспользуемся теоремой Безу. Если G(x) является делителем F(x), то остаток от деления F(x) на G(x) будет равен 0.

4. Рассмотрим многочлен G(x): G(x) = x^2 + 3x - a

5. Найдем корни многочлена G(x), приравняв его к нулю и решив полученное уравнение: x^2 + 3x - a = 0

Для нахождения корней этого квадратного уравнения можно использовать формулу дискриминанта: Дискриминант D = b^2 - 4ac

В данном случае: a = 1, b = 3, c = -a

Подставим значения в формулу дискриминанта: D = (3)^2 - 4(1)(-a) = 9 + 4a

Если D = 0, то уравнение имеет один корень. Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня.

6. Рассмотрим три случая: - Если D > 0, то у нас есть два различных корня многочлена G(x). - Если D = 0, то у нас есть один корень многочлена G(x). - Если D < 0, то у нас нет действительных корней многочлена G(x).

7. Если многочлен G(x) имеет один или два корня, а именно c1 и c2, то чтобы многочлен F(x) делился на G(x), его значения при корнях многочлена G(x) должны быть равны 0: F(c1) = 0 и F(c2) = 0.

8. Подставим значения корней многочлена G(x) в многочлен F(x) и решим систему уравнений относительно параметра a: F(c1) = 0: 2(c1)^4 + a(c1)^3 - 9(c1)^2 + 23(c1) - 20 = 0 F(c2) = 0: 2(c2)^4 + a(c2)^3 - 9(c2)^2 + 23(c2) - 20 = 0

9. Решим систему уравнений для определения возможных значений параметра a.

После решения системы уравнений получим значения параметра a, при которых многочлен F(x) можно разделить на многочлен G(x).

*Примечание: В данном случае, без конкретных численных значений корней многочлена G(x) систему уравнений решить невозможно. Поэтому необходимо знать конкретные значения корней или использовать численные методы для нахождения решений.*