Question

Определите количество кратных трём натуральных делителей числа 11!

Answer 1

11!=2*3*4*5*6*7*8*9*10*11=2⁸·3⁴·5²·7·11.
Любой делитель кратный 3 имеет вид $2^k3^l5^m7^n11^s$, где 0≤k≤8, 1≤l≤4, 0≤m≤2, 0≤n≤1, 0≤s≤1. Т.е. общее количество делителей кратных 3 равно 9·4·3·2·2=432.

Answer 2

Чтобы определить количество кратных трём натуральных делителей числа 11!, мы должны сначала разложить число 11! на простые множители.

Число 11! (читается как "11 факториал") представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до 11:

11! = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Чтобы найти количество делителей, кратных трём, мы должны рассмотреть каждый из простых множителей этого числа и посмотреть, какие из них делятся на 3.

Разложим число 11! на простые множители:

11! = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = (3 * 3 * 3 * 11) * (2 * 5) * (3 * 3) * (2 * 2 * 2) * 7 * (2 * 3) * 5 * (2 * 2) * 3 * 2 * 1

Видим, что число 11! содержит несколько простых множителей, которые могут быть кратны трём. Это 3, 9 и 2 (как 2 * 2).

Теперь, чтобы найти количество делителей, кратных трём, мы можем выбрать один или несколько из этих множителей в сочетании.

Определение количества кратных трём натуральных делителей числа 11!:

Давайте рассмотрим каждый из простых множителей и определим, сколько раз они могут быть выбраны:

- Число 3: у нас есть три фактора 3 и один фактор 9 в разложении числа 11!. Мы можем выбрать ноль, один, два или три фактора 3. Это дает нам 4 возможных варианта. - Число 9: у нас есть один фактор 9 в разложении числа 11!. Мы можем выбрать ноль или один фактор 9. Это дает нам 2 возможных варианта. - Число 2 (как 2 * 2): у нас есть три фактора 2 (как 2 * 2) в разложении числа 11!. Мы можем выбрать ноль, один, два или три фактора 2. Это также дает нам 4 возможных варианта.

Теперь мы можем использовать правило умножения, чтобы определить общее количество кратных трём натуральных делителей числа 11!:

Общее количество делителей, кратных трём, равно:

4 * 2 * 4 = 32

Таким образом, количество кратных трём натуральных делителей числа 11! равно 32.