Question

При каком значении m уравнение x^3+6x^2+mx=0 имеет два корня

Answer 1

$x^3 + 6x^2 + mx = 0\\\\ x(x^2 +6x + m) = 0\\\\ x_1 = 0, \ x^2 + 6x + m = 0 \ (*)$

Это уравнение будет иметь два корня тогда, когда квадратное уравнение (*) будет иметь один корень второй кратности. Либо когда будет иметь два различных между собой корня, но один из которых будет равен нулю (только при m = 0 один из корней обращается в ноль).

$D = 36 - 4m = 0, \ 4m = 36, \ m = 9\\\\ \boxed{\mathbb{OTBET}: \ m = 0, \ m = 9}$

Answer 2

Чтобы уравнение x^3 + 6x^2 + mx = 0 имело два корня, значение m должно быть таким, чтобы уравнение имело два действительных корня или два комплексных корня с нулевой мнимой частью.

Уравнение третьей степени может иметь максимум три корня, поэтому для того, чтобы иметь два корня, третий корень должен быть кратным корнем. То есть, один из корней должен быть двойным корнем.

Для определения значения m, при котором уравнение имеет два корня, можно использовать теорему Виета. Согласно этой теореме, сумма корней уравнения x^3 + 6x^2 + mx = 0 равна -6, так как коэффициент при x^2 равен 6. Также, учитывая, что один из корней является двойным корнем, произведение корней должно быть равно нулю.

Пусть a, b и c будут корнями уравнения. Тогда, согласно теореме Виета:

a + b + c = -6 ab + ac + bc = 0

Если один из корней является двойным корнем, то пусть этот корень будет равен a, а остальные два корня будут равны b. Тогда:

a + b + b = -6 a + 2b = -6

Теперь мы можем решить это уравнение относительно m.

Выражаем a через b:

a = -6 - 2b

Подставляем это значение в уравнение:

(-6 - 2b) + 2b + b = -6 -6 - b = -6 b = 0

Таким образом, один из корней равен 0, а остальные два корня равны 0. Уравнение x^3 + 6x^2 + mx = 0 имеет два корня при любом значении m.

Итак, уравнение x^3 + 6x^2 + mx = 0 имеет два корня при любом значении m.