Question

А) √3sinx+cosx=1 б) sinx+cosx=√3 в) cos²x+2√2sinx-3=0 г)tgx/sin3x=0 д)cosx+secx=2 е)sin^4x=1+cos^4x ж) sin^4x+3cos^2x=3

Answer 1

1)2(√3/2sinx+1/2cosx)=1
√3/2sinx+1/2cosx=1/2
sin(x+π/6)=1/2
x+π/6=(-1)^n*π/6+πn
x=(-1)^n+1*π/6+πn
2)sinx+cosx=√3
sinx+sin(π/2-x)=√3
2sin(π/4-x)cosπ/4=√3
√2sin(π/4-x)=√3
sin(π/4-x)=√6/2∉[-1;1]
нет решения
3) cos²x+2√2sinx-3=0
1-sin²x+2√2sinx-3=0
sin²x-2√2sinx+2=0
(sinx-√2)²=0
sinx=√2∉[-1;1]
нет решения
4)tgx/sin3x=0
tgx=0 U sin3x≠0
x=πn U x≠πn/3
x=πn, n≠3k
5)sin^4x=1+cos^4x
(1-cos2x)²/4-(1+cos2x)²/4=1
1-2cos2x+cos²2x+1+2cos2x+cos²2x=4
2cos²2x=2
cos²2x=1
(1-cos4x)/2=1
1-cos4x=2
cos4x=-1
4x=π+2πn
x=π/4+πn/2
6)sin^4x+3cos^2x=3
(1-cos2x)²/4+3(1+cos2x)/2=3
1-2cos2x+cos²2x+6+6cos2x=12
cos²2x+4cos2x-5=0
cos2x=a
a²+4a-5=0
a1+a2=-4 U a1*a2=-5
a1=-5⇒cos2x=-5∉[-1;1]
a2=1⇒cos2x=1⇒2x=2πn⇒x=πn

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из данных уравнений по порядку:

а) √3sinx + cosx = 1

Для начала, давайте приведем это уравнение к более привычному виду:

sinx = 1 - √3cosx

Затем, воспользуемся тригонометрическим тождеством:

sin²x + cos²x = 1

Теперь, заменим sin²x на (1 - cos²x):

(1 - cos²x) + cos²x = 1

1 - cos²x + cos²x = 1

1 = 1

Таким образом, данное уравнение верно для всех значений x.

б) sinx + cosx = √3

Данное уравнение не имеет решений. Если сложить значения sinx и cosx, то получится число, которое всегда будет меньше или равно sqrt(2).

в) cos²x + 2√2sinx - 3 = 0

Для решения данного уравнения, можно воспользоваться квадратным уравнением. Заменим sinx на (1 - cos²x):

cos²x + 2√2(1 - cos²x) - 3 = 0

cos²x + 2√2 - 2√2cos²x - 3 = 0

(1 - 2√2)cos²x + 2√2 - 3 = 0

Здесь мы получили квадратное уравнение относительно cos²x. Решая его, мы найдем значения cosx, а затем можем найти sinx, используя тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1.

г) tgx / sin3x = 0

Уравнение tgx / sin3x = 0 выполняется, когда числитель равен 0. То есть, tgx = 0. Это имеет место при x = nπ, где n - целое число.

д) cosx + secx = 2

Для начала, заменим secx на 1 / cosx:

cosx + 1 / cosx = 2

Умножим обе части уравнения на cosx:

cos²x + 1 = 2cosx

Перепишем уравнение в виде:

cos²x - 2cosx + 1 = 0

Это квадратное уравнение относительно cosx. Решив его, мы найдем значения cosx, а затем можем найти sinx, используя тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1.

е) sin⁴x = 1 + cos⁴x

Для начала, заменим sin²x и cos²x на (1 - cos²x):

(1 - cos²x)² = 1 + cos⁴x

Раскроем скобки слева:

1 - 2cos²x + cos⁴x = 1 + cos⁴x

Упростим уравнение:

-2cos²x = 0

cos²x = 0

cosx = 0

Отсюда следует, что sinx = ±1.

ж) sin⁴x + 3cos²x = 3

В данном уравнении можно заменить sin²x на (1 - cos²x):

(1 - cos²x)² + 3cos²x = 3

Раскроем скобки слева:

1 - 2cos²x + cos⁴x + 3cos²x = 3

cos⁴x + cos²x - 2 = 0

Здесь мы получили квадратное уравнение относительно cos²x. Решив его, мы найдем значения cosx, а затем можем найти sinx, используя тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1.

**Пожалуйста, обратите внимание, что приведенные выше решения основаны на алгебраических преобразованиях и использовании тригонометрических тождеств. В конечном итоге, значения x, удовлетворяющие данным уравнениям, могут быть найдены путем решения полученных квадратных уравнений и применения тригонометрических функций.