Question

Определите пределы:lim x->0 1+x в корне -1 ---------------------- х

Answer 1

                                           Решение:

lim x->0 (sqrt(1+x)-1)(sqrt(1+x)+1)/x*(sqrt(1+x)+1)=lim x->0 x/x(sqrt(1+x)+1)=lim x->0 1/sqrt(1+x)+1)=1/sqrt(2).

Answer 2

Для определения предела функции при приближении аргумента x к некоторому значению, нужно вычислить значение функции в этой точке или вблизи от неё. Давайте рассмотрим функцию f(x) = (1 + x)^(1/x).

Определение функции

Функция f(x) = (1 + x)^(1/x) определена для всех значений x, кроме x = 0.

Предел функции

Чтобы найти предел функции f(x) при x стремящемся к 0, мы можем использовать аналитические методы или графический подход.

Аналитический метод

Для начала, мы можем попробовать найти предел функции f(x) аналитически, используя алгебраические преобразования и свойства пределов.

lim(x->0) (1 + x)^(1/x)

Использование свойства экспоненты

Мы можем переписать функцию f(x) следующим образом:

lim(x->0) e^(ln((1 + x)^(1/x)))

Применение свойства логарифма

Теперь мы можем применить свойство логарифма, чтобы переписать функцию в другой форме:

lim(x->0) e^((1/x) * ln(1 + x))

Замена аргумента функции

Для удобства, мы можем заменить аргумент функции с помощью переменной t = 1/x:

lim(t->∞) e^(t * ln(1 + 1/t))

Упрощение выражения

Теперь мы можем упростить выражение, заметив, что при t стремящемся к бесконечности, выражение ln(1 + 1/t) стремится к 0:

lim(t->∞) e^(t * 0)

Предел экспоненты

Поскольку e^0 = 1, предел функции равен 1:

lim(x->0) (1 + x)^(1/x) = 1

Таким образом, предел функции (1 + x)^(1/x) при x стремящемся к 0 равен 1.