Question

3sin^2x-7sinxcosx+4cos^2x=0

Answer 1

$3sin^2x - 7sinxcosx + 4cos^2x = 0$
Разделим на $cos^2x$.
$3tg^2x - 7tgx + 4 = 0$
Пусть $t = tgx.$
$3t^2 - 7t + 4 = 0 \\ D = 49 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 1 \\ t_1 = \frac{7 + 1}{6} = \frac{4}{3} \\ t_2 = \frac{7 - 1}{6} = 1$
Обратная замена:
$tgx = \frac{4}{3} \\ x = \boxed{arctg \frac{4}{3} + \pi n, \ n \in Z} \\ tgx = 1 \\ \boxed{x = \frac{ \pi }{4} + \pi n, \ n \in Z}$

Answer 2

Для начала, давайте заменим sin^2(x) на (1-cos^2(x)), чтобы упростить уравнение:

3(1-cos^2(x)) - 7sin(x)cos(x) + 4cos^2(x) = 0

Теперь раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:

3 - 3cos^2(x) - 7sin(x)cos(x) + 4cos^2(x) = 0

-3cos^2(x) + 4cos^2(x) - 7sin(x)cos(x) + 3 = 0

cos^2(x) - 7sin(x)cos(x) + 3 = 0

Теперь проведем некоторые преобразования для упрощения уравнения. Заметим, что -7sin(x)cos(x) можно записать как -(7/2)sin(2x), используя формулу двойного угла для синуса. Также, мы можем заменить cos^2(x) на 1 - sin^2(x), используя тригонометрическую тождественность:

(1 - sin^2(x)) - (7/2)sin(2x) + 3 = 0

Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:

1 - sin^2(x) - (7/2)sin(2x) + 3 = 0

4 - sin^2(x) - (7/2)sin(2x) = 0

Теперь мы можем заменить sin(2x) на 2sin(x)cos(x), используя формулу двойного угла для синуса:

4 - sin^2(x) - (7/2)(2sin(x)cos(x)) = 0

4 - sin^2(x) - 7sin(x)cos(x) = 0

Теперь у нас есть тот же самый уравнение, которое мы получили в начале. Таким образом, мы можем сделать вывод, что заданное уравнение:

3sin^2(x) - 7sin(x)cos(x) + 4cos^2(x) = 0

равносильно:

cos^2(x) - 7sin(x)cos(x) + 3 = 0