Question

Модуль открывается х-2 модуль закрывается (х+4)(х-5)^2 меньше или равно 0

Answer 1

$|x-2|(x+4)(x-5)^2 \leq 0$

Знак неравенства не зависит от множителей, которые являются положительными.
В данном случае $|x-2| \geq 0\; ,\; \; (x-5)^2 \geq 0$ .

Поэтому остаётся решить неравенство $x+4 \leq 0$ и проверить, при каких значениях переменной х левая часть неравенства равна нулю.

$x \leq -4\; ,\; x=2\; ,\; \; x=5\; .$ 

Ответ:  $x\in (-\infty ,-4\, ]\cup \{2,5\}$

Answer 2

Для того чтобы решить это уравнение, давайте разберемся с модулем и выпишем два случая: когда модуль открывается и когда модуль закрывается.

Когда модуль открывается (х-2) < 0: В этом случае модуль будет равен отрицательному значению, поэтому уравнение (х+4)(х-5)^2 меньше или равно 0 означает, что факторы должны быть равны нулю:

х + 4 = 0 х - 5 = 0

Решая эти уравнения, получаем два значения для х: х = -4 и х = 5.

Когда модуль закрывается (х-2) ≥ 0: В этом случае модуль будет равен положительному значению, поэтому нам нужно решить неравенство (х+4)(х-5)^2 ≥ 0. Для этого нам нужно учесть знаки каждого фактора и найти интервалы значений, при которых неравенство выполняется.

Фактор (х+4) всегда положителен, так как его значение всегда больше 0. Фактор (х-5)^2 положителен, если х ≥ 5, иначе он отрицателен.

Таким образом, нам нужно рассмотреть два интервала значений: 1. х < 5 2. х ≥ 5

Для первого интервала (х < 5), оба фактора отрицательны. Поэтому (х+4)(х-5)^2 будет положительным только если у нас есть четное количество факторов (т.е. 0, 2, 4, и т.д.). В этом случае неравенство выполняется.

Для второго интервала (х ≥ 5), оба фактора положительны. Поэтому (х+4)(х-5)^2 будет положительным только если у нас есть нечетное количество факторов (т.е. 1, 3, 5, и т.д.). В этом случае неравенство также выполняется.

Таким образом, решение данного уравнения (х+4)(х-5)^2 ≤ 0 будет состоять из интервала (х ≤ -4) объединенного с интервалом (5 ≤ х ≤ ∞).

Итак, решение уравнения (х+4)(х-5)^2 ≤ 0 является:

х ≤ -4 или 5 ≤ х ≤ ∞