Question

!!!!! cos2x+3sinx-2=0 Решите уравнение и найдите все корни, принадлежащие отрезку [П и пять пи на два]

Answer 1

А)cos2x + 3sinx - 2 = 0
cos²x - sin²x + 3sinx - 2 =0 
1-sin²x - sin²x + 3sinx - 2 = 0
-2sin²x + 3sinx - 1 = 0 |*(-1)
2sin²x - 3sinx + 1 =0 
Обозначим: sinx= t, тогда
2t² - 3t + 1 = 0 
D= 9 - 8 = 1
t₁= 1, t₂ = 1/2


(1) sinx= 1
x₁= π/2+2πn, n ∈ z

(2) sinx= 1/2
x₂= (-1)^k arcsin1/2 + πk
x₂= (-1)^k π/6 + πk, k∈z


б) x₁= π/2+2πn, n ∈ z
n=1, x= π/2+2π= 5π/2 ∈ [π; 5π/2]



x₂= (-1)^k π/6 + πk, k∈z
n= 2, x= (-1)² π/6 +2π = π/6+2π = 13π/6 ∈ [π;5π/2]


 При остальных целых значениях n и k, значения х выходят за пределы заданного отрезка.


Ответ: а) π/2+2πn, n∈z; (-1)^k π/6 + πk, k∈z.
б) 5π/2, 13π/6.

Answer 2

Решение уравнения cos(2x) + 3sin(x) - 2 = 0 на отрезке [π, 5π/2]

Давайте рассмотрим уравнение подробно.

Первый шаг: Преобразование уравнения

Используя тригонометрические тождества, мы можем переписать cos(2x) в терминах sin(x) с помощью формулы двойного угла: cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)

Теперь уравнение примет вид: 1 - 2sin^2(x) + 3sin(x) - 2 = 0

Второй шаг: Замена переменной

Давайте введем замену: u = sin(x). Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно u: -2u^2 + 3u - 1 = 0

Третий шаг: Решение квадратного уравнения

Теперь мы можем решить квадратное уравнение -2u^2 + 3u - 1 = 0 с помощью дискриминанта или других методов.

Дискриминант D = b^2 - 4ac D = 3^2 - 4*(-2)*(-1) = 9 - 8 = 1

Таким образом, дискриминант положительный, а значит у уравнения есть два действительных корня.

Четвертый шаг: Нахождение корней

Используя формулу корней квадратного уравнения, мы получаем: u = (-b ± √D) / (2a) u1 = (3 + 1) / (-4) = -1/2 u2 = (3 - 1) / (-4) = -1/2

Пятый шаг: Обратная замена

Теперь мы можем вернуться к исходной переменной sin(x): sin(x) = -1/2

Шестой шаг: Нахождение углов

На отрезке [π, 5π/2] синус является отрицательным. Таким образом, мы ищем углы x, для которых sin(x) = -1/2 на данном отрезке. Эти углы можно найти из известных значений тригонометрических функций.

Ответ

Таким образом, решив уравнение и нашед все корни, принадлежащие отрезку [π, 5π/2], мы получаем углы x, для которых sin(x) = -1/2.