Question

Докажите что при любом натуральном n выражение 5n^3-5n делится на 30

Answer 1

достаточно доказать что n^3-n делится на 6

n(n^2-1) достаточно доказать что это число делится на 3.

при n=2 имеем 2*(4-1)=6 делится на 3.

пусть при n=m наше предположение верно, покажем что оно имеет место при

n=m+1

(m+1)^3-m-1=m^3+1+3m^2+3m-m-1=(m^3-m)+3(m^2+m) ясно что выражение

делится на 3.

методом индукции мы доказали делимость на 3.

Answer 2

Для того, чтобы доказать, что при любом натуральном n выражение 5n^3-5n делится на 30, нужно сначала преобразовать его в более удобную форму. Вынесем за скобку общий множитель 5n:

5n^3-5n = 5n(n^2-1)

Затем разложим скобку на две скобки по формуле разности квадратов:

5n(n^2-1) = 5n(n-1)(n+1)

Теперь заметим, что числа n-1, n и n+1 представляют собой три последовательных натуральных числа. Среди них обязательно найдется одно число, которое делится на 3, так как 3 является простым числом и встречается в каждой тройке натуральных чисел. Кроме того, среди них также обязательно найдется одно четное число, которое при умножении на 5 даст число, которое делится на 10. Таким образом, выражение 5n(n-1)(n+1) делится и на 3, и на 10, а значит, и на их наименьшее общее кратное, то есть на 30.

Это доказательство можно найти в одном из результатов поиска по вебу. Там же можно найти и другие примеры доказательств для подобных выражений. Надеюсь, это поможет вам понять, как решать такие задачи.