Question

У=Корень из cos x/4-3 y=Корень из sin x/3+5 Найдите область определения функции

Answer 1

Смотрие решение на фото ниже

Answer 2

Область определения функции

Для определения области определения функции, необходимо рассмотреть ограничения, которые накладываются на переменные в уравнении.

Уравнение, данное в вопросе, имеет следующий вид:

$\sqrt{\cos\left(\frac{x}{4}-3\right)+y} = \sqrt{\sin\left(\frac{x}{3}+5\right)}$

Для определения области определения функции, нужно рассмотреть значения переменных, при которых оба аргумента под корнем будут неотрицательными.

Из уравнения видно, что аргументы под корнем - это выражения $\cos\left(\frac{x}{4}-3\right)+y$ и $\sin\left(\frac{x}{3}+5\right)$.

Для того чтобы оба выражения были неотрицательными, необходимо выполнение следующих условий:

1. $\cos\left(\frac{x}{4}-3\right)+y \geq 0$ 2. $\sin\left(\frac{x}{3}+5\right) \geq 0$

Давайте рассмотрим каждое условие по отдельности.

Условие 1: $\cos\left(\frac{x}{4}-3\right)+y \geq 0$

Для того чтобы выражение $\cos\left(\frac{x}{4}-3\right)+y$ было неотрицательным, необходимо, чтобы $\cos\left(\frac{x}{4}-3\right)$ было больше или равно отрицательному значению $-y$.

Известно, что косинус функции может принимать значения от -1 до 1. Таким образом, чтобы $\cos\left(\frac{x}{4}-3\right)$ было больше или равно $-y$, необходимо, чтобы $-1 \leq -y$.

Отсюда следует, что $y \leq 1$.

Условие 2: $\sin\left(\frac{x}{3}+5\right) \geq 0$

Для того чтобы выражение $\sin\left(\frac{x}{3}+5\right)$ было неотрицательным, необходимо, чтобы $\sin\left(\frac{x}{3}+5\right)$ было больше или равно нулю.

Известно, что синус функции может принимать значения от -1 до 1. Таким образом, чтобы $\sin\left(\frac{x}{3}+5\right)$ было больше или равно нулю, необходимо, чтобы $-1 \leq \sin\left(\frac{x}{3}+5\right) \leq 1$.

Отсюда следует, что $-1 \leq \sin\left(\frac{x}{3}+5\right) \leq 1$.

Область определения функции

Исходя из условий, получаем, что область определения функции задается следующим неравенством:

$y \leq 1$ и $-1 \leq \sin\left(\frac{x}{3}+5\right) \leq 1$

Таким образом, область определения функции можно записать следующим образом:

$D = \{(x, y) \mid y \leq 1, -1 \leq \sin\left(\frac{x}{3}+5\right) \leq 1\}$

Область определения функции: $D = \{(x, y) \mid y \leq 1, -1 \leq \sin\left(\frac{x}{3}+5\right) \leq 1\}$.