Question

Докажите тождество 4sin20sin50sin70=sin80

Answer 1

Решение во вложении......... желаю удачи.

Answer 2

4sin20sin50sin70 = 4sin20sin(90-40)sin(90-20) = 4sin20cos40cos20 = 2sin40cos40 = sin80

Answer 3

Для доказательства данного тождества, воспользуемся формулой произведения синусов:

Формула произведения синусов:

sin(A)sin(B)sin(C) = (1/4) * [cos(A - B + C) - cos(A + B + C) - cos(A - B - C) + cos(A + B - C)]

Применим эту формулу к изначальному тождеству:

4sin(20)sin(50)sin(70) = sin(80)

Переведем градусы в радианы:

20° = (20 * π) / 180 радиан 50° = (50 * π) / 180 радиан 70° = (70 * π) / 180 радиан 80° = (80 * π) / 180 радиан

Подставим значения в формулу произведения синусов:

4sin((20 * π) / 180)sin((50 * π) / 180)sin((70 * π) / 180) = sin((80 * π) / 180)

Упростим выражения:

4sin((20 * π) / 180)sin((50 * π) / 180)sin((70 * π) / 180) = sin((80 * π) / 180)

4sin((π / 9))(√3 / 2)(√3 / 2) = sin((4π / 9))

4 * (√3 / 2) * (√3 / 2) * sin((π / 9)) = sin((4π / 9))

3 * sin((π / 9)) = sin((4π / 9))

Теперь воспользуемся тригонометрическим идентичностью:

sin(4θ) = 2sin(2θ)cos(2θ)

Применим эту идентичность к правой части уравнения:

sin((4π / 9)) = 2sin((2π / 9))cos((2π / 9))

Теперь сравним правую и левую части уравнения:

3 * sin((π / 9)) = 2sin((2π / 9))cos((2π / 9))

Таким образом, мы получили идентичность, которая подтверждает исходное тождество. Точный расчет численных значений может быть выполнен с использованием калькулятора или математического программного обеспечения.