Question

Вычислить минимум функции: z= x^2+y^2+18*x+18*y-7

Answer 1

z= x^2+y^2+18*x+18*y-7=x^2+18x+81-81+y^2+18y+81-81-7=(x+9)^2+(y+9)^2-169
сумаа двух квадратов и константы минимум когда квадраты =0 
x=-9
y=-9
минимум z=-169

Answer 2

Для вычисления минимума функции z = x^2 + y^2 + 18x + 18y - 7, мы можем использовать различные методы, включая геометрический анализ и методы дифференциального исчисления. Я расскажу вам о двух наиболее распространенных методах: методе градиентного спуска и методе частных производных.

Метод градиентного спуска

Метод градиентного спуска является итерационным методом оптимизации, который позволяет найти минимум функции, используя информацию о ее градиенте. Градиент функции показывает направление наиболее быстрого роста функции, поэтому мы можем двигаться в противоположном направлении, чтобы достичь минимума.

1. Начнем с выбора начальной точки (x0, y0) в пространстве переменных. 2. Вычислим градиент функции z по переменным x и y: dz/dx и dz/dy. 3. Обновим значения переменных x и y: x_new = x - learning_rate * dz/dx и y_new = y - learning_rate * dz/dy, где learning_rate - это параметр, определяющий скорость обучения. 4. Повторим шаги 2 и 3 до тех пор, пока не достигнем достаточно малого значения функции или не превысим максимальное количество итераций.

Метод частных производных

Метод частных производных основан на нахождении частных производных функции по переменным x и y и их приравнивании к нулю. Это позволяет найти стационарные точки функции, включая минимумы и максимумы.

1. Вычислим частные производные функции z по переменным x и y: dz/dx и dz/dy. 2. Приравняем оба выражения к нулю и решим полученную систему уравнений для x и y. 3. Проверим, является ли найденная точка минимумом, максимумом или седловой точкой, используя метод вторых производных или другие методы проверки.

Вычисление минимума функции z = x^2 + y^2 + 18x + 18y - 7

Давайте применим метод частных производных для вычисления минимума функции z = x^2 + y^2 + 18x + 18y - 7.

1. Вычислим частные производные функции z по переменным x и y: dz/dx = 2x + 18 dz/dy = 2y + 18

2. Приравняем оба выражения к нулю и решим систему уравнений: 2x + 18 = 0 2y + 18 = 0

Решая эти уравнения, мы получаем: x = -9 y = -9

3. Проверим, является ли найденная точка минимумом, максимумом или седловой точкой. Для этого вычислим вторые производные функции z по переменным x и y: d^2z/dx^2 = 2 d^2z/dy^2 = 2

Оба значения вторых производных равны 2, что говорит о том, что найденная точка (-9, -9) является минимумом функции.

Таким образом, минимум функции z = x^2 + y^2 + 18x + 18y - 7 равен -9 при x = -9 и y = -9.