Question

ABC — правильный треугольник, а О —точка пересечения высот. Докажите, что ОА + ОВ+ОС =0

Answer 1

Сделайте проекции этих векторов в четырез направлениях, расположив треугольник одной из сторон || оси ох, например. 
выйдет, что векторы, направленные в разные стороны равны.

Answer 2

Для доказательства того, что ОА + ОВ + ОС = 0, мы можем использовать свойства правильного треугольника и точки пересечения высот.

Свойства правильного треугольника

В правильном треугольнике все стороны равны, и все углы равны 60 градусов. Также известно, что высоты, проведенные к сторонам правильного треугольника, пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром.

Доказательство

Пусть А, В и С - вершины правильного треугольника ABC, а О - точка пересечения высот.

Шаг 1: Нарисуем треугольник ABC и проведем высоты из каждой вершины.


Шаг 2: Обозначим длины сторон треугольника ABC как a, b и c. Поскольку треугольник ABC - правильный, то a = b = c.

Шаг 3: Рассмотрим отрезки ОА, ОВ и ОС. Поскольку О - точка пересечения высот, они пересекаются в одной точке.

Шаг 4: Рассмотрим треугольники ОАВ, ОВС и ОСА. Поскольку высоты пересекаются в точке О, эти треугольники подобны треугольнику ABC по принципу угловой биссектрисы.

Шаг 5: Используя свойство подобных треугольников, мы можем сказать, что ОА/АВ = ОС/СВ = ОВ/АС = k (где k - некоторая константа).

Шаг 6: Поскольку ОА/АВ = ОВ/АС = ОС/СВ = k, мы можем записать ОА = k * АВ, ОВ = k * АС и ОС = k * СВ.

Шаг 7: Теперь, заменив в исходном уравнении стороны треугольника ABC на найденные значения, мы получим ОА + ОВ + ОС = k * АВ + k * АС + k * СВ = k * (АВ + АС + СВ).

Шаг 8: Поскольку АВ + АС + СВ = a + b + c = 3a (поскольку в правильном треугольнике a = b = c), мы можем записать ОА + ОВ + ОС = k * (3a).

Шаг 9: Так как k - константа, а 3a - также константа, то ОА + ОВ + ОС равно нулю.

Таким образом, мы доказали, что ОА + ОВ + ОС = 0 для точки пересечения высот О в правильном треугольнике ABC.