Question

Докажите тождество(у меня не получается): cos(60+x)cosx+sin(60+x)sinx=0.5

Answer 1

Как-то ребятки шустро решили пример, а у меня в длинном варианте получилось

Answer 2

$\cos(60а+x)\cos x+\sin(60а+x)\sin x=\cos(60а+x-x)=\cos60а= \frac{1}{2}$

Answer 3

Для доказательства данного тождества, давайте воспользуемся формулой для произведения синусов и косинусов двух углов:

cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB

В данном случае, у нас имеется тождество:

cos(60 + x) * cos(x) + sin(60 + x) * sin(x) = 0.5

Мы можем заменить cos(60 + x) и sin(60 + x) с помощью формулы суммы углов:

cos(60 + x) = cos60 * cosx - sin60 * sinx sin(60 + x) = sin60 * cosx + cos60 * sinx

Подставим эти значения в исходное тождество:

(cos60 * cosx - sin60 * sinx) * cosx + (sin60 * cosx + cos60 * sinx) * sinx = 0.5

Упростим это выражение:

cos60 * cos^2(x) - sin60 * cos(x) * sin(x) + sin60 * cos(x) * sin(x) + cos60 * sin^2(x) = 0.5

Теперь, заметим, что cos60 = 0.5 и sin60 = √3/2:

(0.5 * cos^2(x) - (√3/2) * cos(x) * sin(x)) + ((√3/2) * cos(x) * sin(x) + 0.5 * sin^2(x)) = 0.5

Также, мы можем заменить cos^2(x) на 1 - sin^2(x):

(0.5 * (1 - sin^2(x)) - (√3/2) * cos(x) * sin(x)) + ((√3/2) * cos(x) * sin(x) + 0.5 * sin^2(x)) = 0.5

Раскроем скобки:

0.5 - 0.5 * sin^2(x) - (√3/2) * cos(x) * sin(x) + (√3/2) * cos(x) * sin(x) + 0.5 * sin^2(x) = 0.5

Упростим еще больше:

0.5 - 0.5 * sin^2(x) + 0.5 * sin^2(x) = 0.5

Теперь заметим, что -0.5 * sin^2(x) + 0.5 * sin^2(x) = 0, и у нас остается:

0.5 = 0.5

Таким образом, мы доказали исходное тождество cos(60 + x) * cos(x) + sin(60 + x) * sin(x) = 0.5.