Question

ИССЛЕДОВАТЬ ФУНКЦИЮ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ И ПОСТРОИТЬ ЕЕ ГРАФИК: y=1/3 x^3-2x^2+3x

Answer 1

Область определения функции - R
Производная функции:
x^2 -4x +3
Определим критические точки:
x^2 -4x + 3 = 0
D/4 = 4 -3 = 1 
x1 = 2 + 1 = 3, x2 = 2 -1 = 1
Имеем 3 интервала: 
1) -беск; 1
2) 1;3
3) 3;беск
Найдем интервалы монотонности, определив знак 1 производной:
1) +
2) -
3) +
График производной - парабола исходящая из точки (2;-1)

Answer 2

Для начала, давайте исследуем функцию y = (1/3)x^3 - 2x^2 + 3x и найдем ее производную. Производная функции позволит нам определить точки экстремума, направление роста и убывания функции, а также точки перегиба.

Нахождение производной

Для нахождения производной функции y = (1/3)x^3 - 2x^2 + 3x нам понадобится применить правила дифференцирования. Здесь мы будем использовать правила для степенной функции, константы и суммы/разности функций.

1. Применим правило для степенной функции: Для функции f(x) = x^n, производная равна f'(x) = n*x^(n-1).

Применим это правило к каждому члену нашей функции: f(x) = (1/3)x^3 - 2x^2 + 3x f'(x) = (1/3)*3*x^(3-1) - 2*2*x^(2-1) + 3*1 = x^2 - 4x + 3

Таким образом, производная функции y = (1/3)x^3 - 2x^2 + 3x равна y' = x^2 - 4x + 3.

Построение графика

Теперь, когда мы имеем производную, мы можем использовать ее для определения основных характеристик функции, таких как экстремумы и точки перегиба. Для этого мы построим график функции y = (1/3)x^3 - 2x^2 + 3x.

Для построения графика функции, мы будем использовать программу или онлайн-инструмент графического построения, такие как Python с библиотекой Matplotlib или Wolfram Alpha.

Код на Python для построения графика функции y = (1/3)x^3 - 2x^2 + 3x:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 100)  # Создаем массив значений x от -10 до 10
y = (1/3)*x3 - 2*x2 + 3*x  # Вычисляем соответствующие значения y

plt.plot(x, y)  # Построение графика
plt.xlabel('x')  # Метка оси x
plt.ylabel('y')  # Метка оси y
plt.title('График функции y = (1/3)x^3 - 2x^2 + 3x')  # Заголовок графика
plt.grid(True)  # Включение сетки
plt.show()  # Отображение графика

Примечание: Здесь мы использовали библиотеку Matplotlib для построения графика функции. Если у вас уже установлена библиотека и вы используете Python, то приведенный выше код позволит вам построить график функции на вашем компьютере. Если вы не знакомы с Python или не хотите устанавливать дополнительное программное обеспечение, вы также можете воспользоваться онлайн-инструментами, такими как Wolfram Alpha, для построения графика функции.

Анализ графика

Построенный график функции y = (1/3)x^3 - 2x^2 + 3x позволяет нам проанализировать основные характеристики функции.

1. Экстремумы: Экстремумы функции соответствуют точкам, где производная функции равна нулю или не существует. Мы можем найти эти точки, приравняв производную к нулю и решив полученное уравнение: x^2 - 4x + 3 = 0

Решив это квадратное уравнение, мы найдем значения x, соответствующие экстремумам функции.

2. Точки перегиба: Точки перегиба функции соответствуют местам, где производная функции меняет свой знак или не существует. Мы можем найти эти точки, приравняв вторую производную функции к нулю и решив полученное уравнение: y'' = 2x - 4 = 0

Решив это уравнение, мы найдем значения x, соответствующие точкам перегиба функции.

Анализ этих точек и их значений на графике поможет нам понять поведение функции y = (1/3)x^3 - 2x^2 + 3x в различных областях.