Question

Решите уровнение икс четвертой степенни равен минус 16

Answer 1

Мне кажется, что здесь решения нет, потому что "х" в любой четной степени (2,4,6,8 и т.д.) не может быть равным отрицательному числу. Вот если бы 16 было без минуса тогда другое дело, а так у этого уравнения решений нет!

Answer 2

Для решения уравнения \(x^4 = -16\) мы можем воспользоваться методом извлечения корней четвертой степени. Давайте разберемся подробнее.

Извлечение корней четвертой степени

Уравнение \(x^4 = -16\) можно решить, используя комплексные числа. Для начала найдем корень четвертой степени из \(-16\).

Корень четвертой степени из -16

Для поиска корня четвертой степени из \(-16\) мы можем воспользоваться формулой для комплексных чисел в показательной форме: \[z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\]

где \(r\) - модуль числа, \(\theta\) - аргумент числа.

Модуль числа \(z = -16\) равен \(|z| = 16\), а аргумент \(\theta\) можно найти по формуле \(\theta = \arctan\left(\frac{Im(z)}{Re(z)}\right)\), где \(Im(zДля решения уравнения x^4 = -16, мы можем применить несколько шагов. Давайте начнем:

Шаг 1: Приведем уравнение к виду, где одна сторона равна нулю. Для этого добавим 16 к обеим сторонам уравнения:

x^4 + 16 = 0

Шаг 2: Теперь мы можем попробовать применить различные методы решения уравнений четвертой степени. Однако, в данном случае у нас есть возможность применить простую замену переменной.

Шаг 3: Представим x^4 в виде (x^2)^2, чтобы применить замену переменной. Обозначим x^2 как t:

t^2 + 16 = 0

Шаг 4: Теперь мы можем решить это уравнение в отношении t. Выражение t^2 + 16 = 0 не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицательный. Однако, у нас есть комплексные решения.

Шаг 5: Решим t^2 + 16 = 0 с использованием комплексных чисел. Для этого мы можем использовать формулу комплексных чисел i^2 = -1:

t^2 + 16 = 0 t^2 = -16 t = ±√(-16) t = ±4i

Шаг 6: Теперь мы знаем, что t = x^2. Подставим ±4i вместо t:

x^2 = ±4i

Шаг 7: Чтобы решить это уравнение относительно x, возведем обе стороны в квадрат:

(x^2)^2 = (±4i)^2 x^4 = 16i^2 x^4 = -16

Шаг 8: Мы получили исходное уравнение x^4 = -16, что означает, что комплексные числа ±4i являются решениями этого уравнения.

Таким образом, уравнение x^4 = -16 имеет два комплексных решения: x = ±2i и x = ±2i.