Question

Найдите наименьшее целое решение х такое ,что log (x^2) по основанию 2 < log (8x-15) по основанию 2

Answer 1

㏒ х²<㏒ (8x-15)     ОДЗ х≠0  8х-15>0  x>15/8
 x²<8x-15    x²-8x+15<0    
 найдем корни х²-8ч+15=0   D=64-4*1*15=4    x1=8-2/2=3   x2=8+2/2=5
  (x-3)(x-5)<0   -------------------------------------------
                               +     3    -     5    +
     x∈(3.  5 )
  ответ  (3,  5 )

Answer 2

Для решения данного неравенства с логарифмами, мы можем использовать свойства логарифмов и алгебраические преобразования. Давайте разберемся.

Первый шаг: Применение свойства логарифмов

Мы можем использовать свойство логарифма, которое гласит, что log(a^b) = b * log(a). Применим это свойство к обоим частям неравенства:

log(x^2) / log(2) < log(8x-15) / log(2)

Второй шаг: Упрощение неравенства

Для упрощения неравенства, мы можем умножить обе части на log(2), чтобы избавиться от знаменателя:

log(x^2) < log(8x-15)

Третий шаг: Применение свойства логарифмов

Мы можем заметить, что логарифмы с одинаковым основанием могут быть отменены. Применим это свойство:

x^2 < 8x-15

Четвертый шаг: Перенос всех терминов в одну сторону

Для того чтобы решить это неравенство, перенесем все термины в одну сторону:

x^2 - 8x + 15 < 0

Пятый шаг: Факторизация

Факторизуем левую сторону неравенства:

(x - 3)(x - 5) < 0

Шестой шаг: Анализ знаков

Чтобы определить значения x, которые удовлетворяют неравенству, мы можем проанализировать знаки в каждом из интервалов между корнями факторизованного выражения:

- Берем произвольное значение x между -∞ и 3. Например, x = 0. Подставим это значение в неравенство: (0 - 3)(0 - 5) < 0 -3 * -5 < 0 15 < 0 Это неравенство не выполняется.

- Берем произвольное значение x между 3 и 5. Например, x = 4. Подставим это значение в неравенство: (4 - 3)(4 - 5) < 0 1 * -1 < 0 -1 < 0 Это неравенство выполняется.

- Берем произвольное значение x между 5 и +∞. Например, x = 6. Подставим это значение в неравенство: (6 - 3)(6 - 5) < 0 3 * 1 < 0 3 < 0 Это неравенство не выполняется.

Седьмой шаг: Ответ

Таким образом, наименьшее целое решение x, удовлетворяющее данному неравенству, равно 4.