Question

интеграл (2sin^2(x/2)dx). нижний предел 0, верхний П. Главное распишите как сделать первообразную

Answer 1

Так в лоб решить сложно, лучше сначала воспользоваться тригонометрической формулой и разложить синус
$\int\limits^ \pi_0 {2sin^{2}( \frac{x}{2}) } \, dx = \int\limits^ \pi_0 {2 \frac{1-cosx}{2}} \, dx= \int\limits^ \pi_0 {1}} \, dx-\int\limits^ \pi_0 {cosx}} \, dx$
Ну а дальше все легко.

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать формулу замены переменной. Давайте подробно рассмотрим каждый шаг.

Шаг 1: Замена переменной

Интеграл имеет вид:

∫(2sin^2(x/2)dx)

Мы можем заменить переменную, чтобы упростить интеграл. Пусть u = x/2. Тогда dx = 2du.

Шаг 2: Замена переменной в интеграле

Подставим замену переменной в исходный интеграл:

∫(2sin^2(u) * 2du)

Упростим:

∫(4sin^2(u)du)

Шаг 3: Решение упрощенного интеграла

Теперь мы можем решить упрощенный интеграл. Для этого воспользуемся формулой половинного угла:

sin^2(u) = (1 - cos(2u))/2

Подставим это выражение в интеграл:

∫(4 * (1 - cos(2u))/2)du

Упростим:

∫(2 - 2cos(2u))du

Шаг 4: Интегрирование

Теперь мы можем проинтегрировать каждое слагаемое по отдельности:

∫2du - ∫2cos(2u)du

Первое слагаемое ∫2du равно 2u + C, где C - произвольная постоянная.

Второе слагаемое ∫2cos(2u)du можно проинтегрировать с помощью формулы интеграла от косинуса:

∫cos(ax)dx = (1/a)sin(ax) + C

Применяя эту формулу, получаем:

∫2cos(2u)du = (1/2)sin(2u) + C

Шаг 5: Итоговый ответ

Собираем все вместе:

∫(2sin^2(x/2)dx) = 2u - (1/2)sin(2u) + C

Заменяем обратно переменную u на исходную переменную x:

∫(2sin^2(x/2)dx) = 2(x/2) - (1/2)sin(2(x/2)) + C

Упрощаем:

∫(2sin^2(x/2)dx) = x - (1/2)sin(x) + C

Таким образом, первообразная для интеграла (2sin^2(x/2)dx) равна x - (1/2)sin(x) + C, где C - произвольная постоянная.