Question

Найдите наименьшее значение функции y=1/3x ln x - 1/6x ln 9 на отрезке [1;3]

Answer 1

$y=\frac{1}{3x}lnx-\frac{1}{6x}ln9\\y'=\frac{2-2lnx+ln9}{6x^2}=0\\lnx^2=ln9e^2\\x=3e, x=-3e\\\\y(1)=1/3 *ln 1 - 1/6 *ln 9=-1/6 *ln9=ln(3^{-1/3})\\y(3)=1/9*ln3-1/18*ln9=ln(3^{-27}) - min$

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y=1/3x+ln(x)-1/6x+ln(9) на отрезке [1;3] мы можем воспользоваться методом дифференциального исчисления. Для начала найдем производную этой функции, а затем решим уравнение производной равной нулю, чтобы найти критические точки. После этого мы сможем проверить значение функции в этих точках и на концах отрезка, чтобы найти наименьшее значение.

Нахождение производной функции

Производная функции y=1/3x+ln(x)-1/6x+ln(9) выглядит следующим образом: y' = (1/3) + (1/x) - (1/6) + 0 y' = 1/3 + 1/x - 1/6

Нахождение критических точек

Теперь найдем критические точки, приравнивая производную к нулю: 1/3 + 1/x - 1/6 = 0 1/x = 1/6 - 1/3 1/x = 1/6 - 2/6 1/x = -1/6 x = -6

Проверка значений в критических точках и на концах отрезка

Мы видим, что критическая точка x = -6 находится за пределами отрезка [1;3], поэтому мы должны проверить значение функции в точках 1, 3 и на концах отрезка.

y(1) = (1/3) * 1 + ln(1) - (1/6) * 1 + ln(9) ≈ 0.0986 y(3) = (1/3) * 3 + ln(3) - (1/6) * 3 + ln(9) ≈ 1.2148

Наименьшее значение

Таким образом, наименьшее значение функции y=1/3x+ln(x)-1/6x+ln(9) на отрезке [1;3] составляет около 0.0986 и достигается при x=1.