Question

Дам много баллов Найти интеграл (cos^3x+4)/(sin^2x)

Answer 1

$\frac{cos^3x+4}{\sin^2x} = \frac{\cos x\cdot \cos^2x}{\sin^2x}+ \frac{4}{\sin^2x} =\cos xctg^2x+4(1+tg^2x)=\cos xctg^2x+4+4tg^2x$

$\int\limits {(\cos xctg^2x+4+4tg^2x)} \, dx =4tgx-\sin x- \frac{1}{2} tg \frac{x}{2} -\frac{1}{2}ctg \frac{x}{2}+C$

Answer 2

Для нахождения интеграла функции $\frac{{\cos^3(x) + 4}}{{\sin^2(x)}}$, мы можем использовать метод подстановки. Давайте рассмотрим этот подход подробнее.

Метод подстановки

1. Начнем с подстановки, позволяющей нам упростить интеграл. Для этого заменим $\sin(x)$ на $t$. Тогда $dx = \frac{{dt}}{{\cos(x)}}$. 2. Подставим эти значения в исходный интеграл: $$\int \frac{{\cos^3(x) + 4}}{{\sin^2(x)}} dx = \int \frac{{\cos^3(x) + 4}}{{\sin^2(x)}} \cdot \frac{{dt}}{{\cos(x)}}$$ 3. Упростим интеграл, используя полученные значения: $$\int \frac{{\cos^3(x) + 4}}{{\sin^2(x)}} \cdot \frac{{dt}}{{\cos(x)}} = \int \frac{{\cos^2(x) \cdot \cos(x) + 4}}{{\sin^2(x)}} \cdot \frac{{dt}}{{\cos(x)}}$$ 4. Разделим числитель на $\sin^2(x)$: $$\int \frac{{\cos^2(x) \cdot \cos(x) + 4}}{{\sin^2(x)}} \cdot \frac{{dt}}{{\cos(x)}} = \int \left(\frac{{\cos^2(x)}}{{\sin^2(x)}} + \frac{{4}}{{\sin^2(x)}}\right) \cdot \frac{{dt}}{{\cos(x)}}$$ 5. Воспользуемся тригонометрическим тождеством $\frac{{\cos^2(x)}}{{\sin^2(x)}} = \csc^2(x) - 1$: $$\int \left(\frac{{\csc^2(x) - 1}}{{\sin^2(x)}} + \frac{{4}}{{\sin^2(x)}}\right) \cdot \frac{{dt}}{{\cos(x)}}$$ 6. Упростим дроби и интеграл: $$\int \left(\csc^2(x) - 1 + \frac{{4}}{{\sin^2(x)}}\right) \cdot \frac{{dt}}{{\cos(x)}} = \int \left(\csc^2(x) + \frac{{3}}{{\sin^2(x)}} - 1\right) \cdot \frac{{dt}}{{\cos(x)}}$$ 7. Разложим интеграл на несколько частей: $$\int \left(\csc^2(x) + \frac{{3}}{{\sin^2(x)}} - 1\right) \cdot \frac{{dt}}{{\cos(x)}} = \int \csc^2(x) \cdot \frac{{dt}}{{\cos(x)}} + 3 \cdot \int \frac{{dt}}{{\sin^2(x) \cdot \cos(x)}} - \int \frac{{dt}}{{\cos(x)}}$$ 8. Раскроем интегралы: $$\int \csc^2(x) \cdot \frac{{dt}}{{\cos(x)}} = \int \csc^2(x) \cdot \sec(x) \cdot dt$$ $$3 \cdot \int \frac{{dt}}{{\sin^2(x) \cdot \cos(x)}} = 3 \cdot \int \csc(x) \cdot \frac{{d(\sin(x))}}{{\sin(x)}}$$ $$\int \frac{{dt}}{{\cos(x)}} = \int \sec(x) \cdot dt$$ 9. Проинтегрируем каждую часть по отдельности: $$\int \csc^2(x) \cdot \sec(x) \cdot dt = -\csc(x) + C_1$$ $$3 \cdot \int \csc(x) \cdot \frac{{d(\sin(x))}}{{\sin(x)}} = -3 \cdot \cot(x) + C_2$$ $$\int \sec(x) \cdot dt = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C_3$$ где $C_1$, $C_2$, $C_3$ - константы интегрирования.

Итоговый ответ

Подставим полученные значения обратно в исходный интеграл: $$\int \frac{{\cos^3(x) + 4}}{{\sin^2(x)}} dx = -\csc(x) + 3 \cdot \cot(x) + \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C$$ где $C$ - константа интегрирования.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как найти интеграл $\int \frac{{\cos^3(x) + 4}}{{\sin^2(x)}} dx$. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!