Question

Найдите наименьшее положительное значение p+k, если известно: 1+tg p= 2/(1+tg k)Варианты ответов √3п/2 ; п/3 ; п/4.Прошу с решением

Answer 1

Область определения:
tg k =/= -1; k =/= -pi/4 + pi*k
Умножаем все на (1+tg k)
(1 + tg p)(1 + tg k) = 2
1 + tg p + tg k + tg p*tg k = 2
tg p + tg k + tg p*tg k = 1 
tg p + tg k = 1 - tg p*tg k
По известной формуле тангенса суммы аргументов
tg (p + k) = (tg p + tg k) / (1 - tg p*tg k) =  (tg p + tg k) / (tg p + tg k) = 1
p + k = pi/4 + pi*k
Наименьшее положительное значение равно pi/4

Answer 2

Для решения этой задачи, нам дано уравнение: 1 tg p = 2 / (1 + tg k)

Мы должны найти наименьшее положительное значение p + k.

Шаг 1: Приведение уравнения к более удобному виду

Давайте рассмотрим данное уравнение более подробно:

1 tg p = 2 / (1 + tg k)

Мы знаем, что tg(p) = sin(p) / cos(p). Подставим это в уравнение:

1 * (sin(p) / cos(p)) = 2 / (1 + tg k)

Умножим обе части уравнения на cos(p):

sin(p) = (2 * cos(p)) / (1 + tg k)

Шаг 2: Подстановка известных значений

Теперь давайте рассмотрим варианты ответов и подставим их в уравнение, чтобы найти наименьшее положительное значение p + k.

1. Ответ: √3п/2

Подставим это значение в уравнение:

sin(√3п/2) = (2 * cos(√3п/2)) / (1 + tg k)

sin(√3п/2) = (2 * cos(√3п/2)) / (1 + tg k)

sin(√3п/2) = (2 * 0) / (1 + tg k)

sin(√3п/2) = 0

Это уравнение не дает нам информации о значении k. Мы не можем использовать это значение для нахождения наименьшего положительного значения p + k.

2. Ответ: п/3

Подставим это значение в уравнение:

sin(п/3) = (2 * cos(п/3)) / (1 + tg k)

√3/2 = (2 * 1/2) / (1 + tg k)

√3 = 1 / (1 + tg k)

1 + tg k = 1 / √3

tg k = 1 / √3 - 1

tg k = (√3 - 1) / √3

k = arctg((√3 - 1) / √3)

Теперь, чтобы найти p + k, нам нужно найти значение p, которое соответствует этому значению k. Для этого мы должны вернуться к исходному уравнению и решить его относительно p:

1 tg p = 2 / (1 + (√3 - 1) / √3)

tg p = 2 / (1 + (√3 - 1) / √3)

tg p = 2 / (2/√3)

tg p = √3

p = arctg(√3)

Теперь мы можем найти p + k:

p + k = arctg(√3) + arctg((√3 - 1) / √3)

p + k ≈ 1.0472 + 0.7854

p + k ≈ 1.8326

3. Ответ: п/4

Подставим это значение в уравнение:

sin(п/4) = (2 * cos(п/4)) / (1 + tg k)

1/√2 = (2 * 1/√2) / (1 + tg k)

1 = 2 / (1 + tg k)

1 + tg k = 2

tg k = 1

k = arctg(1)

Теперь, чтобы найти p + k, нам нужно найти значение p, которое соответствует этому значению k. Для этого мы должны вернуться к исходному уравнению и решить его относительно p:

1 tg p = 2 / (1 + 1)

tg p = 2 / 2

tg p = 1

p = arctg(1)

Теперь мы можем найти p + k:

p + k = arctg(1) + arctg(1)

p + k ≈ 0.7854 + 0.7854

p + k ≈ 1.5708

Ответ

Из представленных вариантов ответов, наименьшее положительное значение p + k равно п/4, что составляет примерно 1.5708.