Question

Докажите тождество : cos^2a-sin^2a=(2 cos^2a*tga)/tg2a

Answer 1

$cos^2a-sin^2a=\frac{2cos^2a*tga}{tg2a}\\ cos^2a-sin^2a = 2cos^2a-1\\ \frac{2cosa*sina*cos2a}{sin2a}=cos2a=2cos^2a-1\\ 2cos^2a-1=2cos^2a-1$

Answer 2

Для начала, давайте рассмотрим тождество, которое вам нужно доказать:

Тождество: cos^2a - sin^2a = (2 + cos^2a * tan(a)) / tan(2a)

Доказательство:

Мы начнем с левой стороны тождества, используя тригонометрические идентичности, чтобы преобразовать ее в правую сторону.

1. Начнем с левой стороны:

cos^2a - sin^2a

2. Преобразуем cos^2a и sin^2a с использованием основной тригонометрической идентичности:

cos^2a - sin^2a = cos^2a - (1 - cos^2a) = 2cos^2a - 1

3. Теперь рассмотрим правую сторону:

(2 + cos^2a * tan(a)) / tan(2a)

4. Преобразуем tan(2a) с использованием тригонометрической формулы двойного угла:

tan(2a) = 2tan(a) / (1 - tan^2(a))

5. Подставим это значение обратно в правую сторону:

(2 + cos^2a * tan(a)) / (2tan(a) / (1 - tan^2(a)))

6. Упростим выражение:

(2(1 - tan^2(a)) + cos^2a * tan(a)) / 2tan(a)

7. Далее раскроем скобки и упростим:

(2 - 2tan^2(a) + cos^2a * tan(a)) / 2tan(a)

8. Умножим обе части на 2:

2 - 2tan^2(a) + cos^2a * tan(a) = 4tan(a) - 4tan^3(a) + 2cos^2a * tan(a)

9. Теперь мы можем переместить все члены на одну сторону уравнения:

2 - 2tan^2(a) - 4tan(a) + 4tan^3(a) + cos^2a * tan(a) - 2cos^2a * tan(a) = 0

10. Упростим выражение:

4tan^3(a) - 2tan^2(a) - 2tan(a) + cos^2a * tan(a) - 2cos^2a * tan(a) + 2 = 0

Исходное утверждение тождества:

cos^2a - sin^2a = (2 + cos^2a * tan(a)) / tan(2a)

не удалось доказать в рамках данного ответа. Хотите ли вы, чтобы я продолжил попытку доказательства, или у вас есть другие вопросы?