Question

Решите неравенство: cos2x+4cosx-3>0

Answer 1

Если так, то я понятия не имею, куда девать число 3, ибо оно тоже больше 0 

Answer 2

Для решения данного неравенства, нам нужно найти значения переменной x, для которых неравенство выполняется. Для начала, давайте перепишем неравенство в более привычной форме:

cos(2x) + 4cos(x) - 3 > 0

Теперь давайте разложим это неравенство на два уравнения:

cos(2x) + 4cos(x) - 3 = 0 (уравнение 1) cos(2x) + 4cos(x) - 3 < 0 (уравнение 2)

Решение уравнения 1:

Для решения уравнения 1, давайте заметим, что оно является квадратным уравнением по переменной cos(x). Давайте введем новую переменную t = cos(x). Тогда уравнение 1 примет вид:

t^2 + 4t - 3 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации или используя квадратное уравнение. Давайте воспользуемся последним подходом:

Дискриминант D квадратного уравнения равен:

D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-3) = 16 + 12 = 28

Так как дискриминант D положительный, у нас есть два корня:

t1 = (-b + sqrt(D))/(2a) = (-4 + sqrt(28))/(2) t2 = (-b - sqrt(D))/(2a) = (-4 - sqrt(28))/(2)

Теперь давайте найдем значения cos(x), соответствующие этим корням:

cos(x1) = t1 = (-4 + sqrt(28))/(2) = -1 + sqrt(7) cos(x2) = t2 = (-4 - sqrt(28))/(2) = -1 - sqrt(7)

Таким образом, уравнение 1 имеет два решения для переменной cos(x): -1 + sqrt(7) и -1 - sqrt(7).

Решение уравнения 2:

Для решения уравнения 2, давайте вспомним, что cos(x) принимает значения от -1 до 1. Таким образом, мы можем найти интервалы значений x, для которых неравенство 2 выполняется.

Давайте рассмотрим каждую компоненту неравенства 2 отдельно:

cos(2x) < 3 - 4cos(x)

Теперь давайте введем новую переменную t = cos(x). Тогда неравенство 2 примет вид:

cos(2x) < 3 - 4t

Для решения этого неравенства, мы можем использовать график функции cos(2x) и график функции 3 - 4t. Мы ищем значения t, для которых график функции cos(2x) находится ниже графика функции 3 - 4t.

После анализа графиков, мы можем прийти к выводу, что неравенство 2 выполняется в следующих интервалах:

-1 + sqrt(7) < cos(x) < -1 - sqrt(7)

Теперь, чтобы найти значения x, соответствующие этим интервалам, мы должны рассмотреть область определения функции cos(x), которая является отрезком [0, 2π]. Из этого следует, что значения x, удовлетворяющие неравенству 2, находятся в интервалах:

0 < x < 2π

Общее решение:

Таким образом, общее решение данного неравенства выглядит следующим образом:

0 < x < 2π и -1 + sqrt(7) < cos(x) < -1 - sqrt(7)

Пожалуйста, обратите внимание, что значения x могут быть выражены в различных форматах, например в радианах или градусах, в зависимости от контекста задачи.