Question

Решите показательное неравенство (с подробным решением) 2^(4x^2+|x|)*3^(-|x|)<=1

Answer 1

Домножим неравенство на 3^(|x|) (это можно делать, так как 3^(|x|)>0):
2^(4x^2+|x|)≤3^|x|. 
Прологарифмируем это неравенство по основанию 2>1; смысл неравенства при этом сохранится:
4x^2+|x|≤|x|log_2 3
(справа я вынес за знак логарифма показатель степени).
4|x|^2+|x|-|x|log_2 3≤0;
|x|(4|x|+1-log_2 3)≤0

1. x=0⇒неравенство принимает вид 0≤0 - верно⇒x=0 входит в ответ.
2. x≠0⇒|x|>0⇒на него можно неравенство сократить:

4|x|≤log_2 3 -1; |x|≤(log_2 3 - 1)/4;
x∈[-(log_2 3 -1)/4; (log_2 3-1)]. 
Поскольку x=0 входит в этот промежуток, это и будет ответ

Ответ: [-(log_2 3 -1)/4; (log_2 3-1)]. 

Замечание. При желании ответ можно записать в виде
[-(log_2 (3/2))/4;(log_2 (3/2))/4]

Answer 2

Для начала разберемся с модулем. Модуль числа - это его абсолютное значение, то есть если число положительное, то модуль равен самому числу, а если отрицательное, то модуль равен числу с обратным знаком. Таким образом, модуль числа x можно представить как |x| = x, если x >= 0 и |x| = -x, если x < 0.

Теперь рассмотрим наше неравенство: 2^(4x^2+|x|)*3^(-|x|) <= 1

Для начала заметим, что 2^(4x^2+|x|) всегда положительно, так как это степень числа 2, которая всегда больше 0. Также заметим, что 3^(-|x|) также всегда положительно, так как это степень числа 3, возведенная в отрицательную степень, что приводит к обратному значению.

Теперь рассмотрим два случая: 1. Если x >= 0, то |x| = x, и неравенство принимает вид 2^(4x^2+x)*3^(-x) <= 1 2. Если x < 0, то |x| = -x, и неравенство принимает вид 2^(4x^2-x)*3^(x) <= 1

Рассмотрим первый случай: 2^(4x^2+x)*3^(-x) <= 1 Мы можем преобразовать левую часть неравенства, чтобы избавиться от степеней с разными основаниями: 2^(4x^2+x)*3^(-x) = (2^x * 2^(4x^2)) * (3^(-x)) = 2^x * 16^x * (1/3)^x = (2 * 16 * 1/3)^x = (32/3)^x

Таким образом, наше неравенство принимает вид: (32/3)^x <= 1 Теперь возведем обе части неравенства в степень 3 (так как основание меньше 1): ((32/3)^x)^3 <= 1^3 (32/3)^(3x) <= 1

Теперь мы видим, что (32/3)^(3x) <= 1 всегда выполняется, так как основание (32/3) больше 1, а степень любого числа неотрицательная.

Теперь рассмотрим второй случай: 2^(4x^2-x)*3^(x) <= 1 Аналогично, преобразуем левую часть неравенства: 2^(4x^2-x)*3^(x) = (2^x * 2^(4x^2)) * (3^x) = 2^x * 16^x * 3^x = (2 * 16 * 3)^x = 96^x

Таким образом, наше неравенство принимает вид: 96^x <= 1 Теперь мы видим, что 96^x всегда положительно, и не может быть меньше или равно 1.

Итак, мы получили, что неравенство 2^(4x^2+|x|)*3^(-|x|) <= 1 выполняется для всех x. Таким образом, решением данного неравенства является множество всех вещественных чисел x.