Question

Найдите точки экстремума и определите их характер: y=x³+3x²-9x-2

Answer 1

Производная функции равна 3*x^2+6*x-9. Приравниваем её к нулю, решаем квадратное уравнение, получаем корни -3 и 1. В точке -3 проиводная меняет знак с + на минус- то есть это точка максимума. В точке 1 меняет знак с минуса на плюс - это точка минимума.

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции y=x³+3x²-9x-2 необходимо найти её производную, приравнять её к нулю и найти соответствующие значения x. После этого можно использовать вторую производную, чтобы определить характер найденных точек экстремума.

Нахождение производной

Найдем производную функции y=x³+3x²-9x-2. Для этого продифференцируем каждый член по отдельности: y' = (x³+3x²-9x-2)' = (x³)' + (3x²)' - (9x)' - (2)' y' = 3x² + 6x - 9

Нахождение точек экстремума

Теперь приравняем производную к нулю и найдем значения x: 3x² + 6x - 9 = 0

Для нахождения корней данного квадратного уравнения можно воспользоваться формулой дискриминанта: D = b² - 4ac где a=3, b=6, c=-9 D = 6² - 4*3*(-9) = 36 + 108 = 144

Таким образом, дискриминант положителен, следовательно, у уравнения есть два различных вещественных корня: x₁,₂ = (-b ± √D) / (2a) x₁,₂ = (-6 ± √144) / (2*3) x₁ = (-6 + 12) / 6 = 6 / 6 = 1 x₂ = (-6 - 12) / 6 = -18 / 6 = -3

Определение характера точек экстремума

Теперь найдем вторую производную функции и подставим найденные значения x для определения характера точек экстремума: y'' = (3x² + 6x - 9)' y'' = 6x + 6

Подставим x=1 и x=-3 во вторую производную: y''(1) = 6*1 + 6 = 12 y''(-3) = 6*(-3) + 6 = -12

Таким образом, при x=1 вторая производная положительна, что означает, что точка (1, f(1)) является точкой минимума, а при x=-3 вторая производная отрицательна, что означает, что точка (-3, f(-3)) является точкой максимума.

Итак, мы нашли точки экстремума функции y=x³+3x²-9x-2 и определили их характер.