Question

Найдите наибольшее значение функции: y=11x-5cosx+2 на отрезке [-pi/2; 0]

Answer 1

$y=11x-5cosx+2\; ,\; \; \; x\in [-\frac{\pi}{2};0\, ]\\\\y'=11+5sinx=0\\\\5sinx=-11\; ,\; \; \; sinx=-\frac{11}{5}=-2,2\ \textless \ -1\; \; \to \; \; net\; kornej\; \to \\\\net\; ekstremymov\\\\y(0)=-5+2=-3\\\\y(-\frac{\pi}{2})=-\frac{11\pi }{2}-\underbrace {5\cdot 0}_{0}+2=\frac{4-11\pi }{2}\approx -15,28\\\\y_{naibol.}=y(0)=-3$

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y = 11x - 5cos(x) + 2 на отрезке [-π/2; 0], мы можем использовать метод дифференцирования и анализа критических точек.

Нахождение критических точек

1. Для начала, возьмем производную функции y по x. Для функции y = 11x - 5cos(x) + 2, производная будет: y' = 11 + 5sin(x)

2. Теперь найдем точки, где производная равна нулю или не существует. Эти точки будут критическими точками, где функция может достигать своего максимального или минимального значения.

Поэтому, чтобы найти критические точки, решим уравнение: 11 + 5sin(x) = 0

Решая это уравнение, получим: sin(x) = -11/5

Найдем значения x, соответствующие этому уравнению. В данном случае, поскольку мы ищем значения на отрезке [-π/2; 0], будем рассматривать только те значения x, которые попадают в этот интервал.

Подставляя значения x в уравнение sin(x) = -11/5, получим: x ≈ -1.999, -0.456

Таким образом, у нас есть две критические точки: x ≈ -1.999 и x ≈ -0.456.

Анализ максимума

3. Теперь, чтобы определить, является ли каждая из найденных критических точек максимумом или минимумом, воспользуемся второй производной.

Возьмем вторую производную функции y по x: y'' = 5cos(x)

4. Подставим найденные критические точки x ≈ -1.999 и x ≈ -0.456 во вторую производную y''.

Для x ≈ -1.999: y'' ≈ 5cos(-1.999) ≈ -4.972

Для x ≈ -0.456: y'' ≈ 5cos(-0.456) ≈ 4.944

Знаки второй производной показывают, является ли каждая критическая точка максимумом или минимумом.

Для x ≈ -1.999, знак отрицательный (-), поэтому это может быть максимум.

Для x ≈ -0.456, знак положительный (+), поэтому это может быть минимум.

Вычисление значений функции

5. Наконец, остается вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка.

Вычислим значения функции y для каждой из этих точек: - Для x ≈ -1.999: y ≈ 11(-1.999) - 5cos(-1.999) + 2 ≈ -25.763

- Для x ≈ -0.456: y ≈ 11(-0.456) - 5cos(-0.456) + 2 ≈ 6.050

- Для x = -π/2: y = 11(-π/2) - 5cos(-π/2) + 2 ≈ -13.142

- Для x = 0: y = 11(0) - 5cos(0) + 2 ≈ 2

Ответ

Таким образом, наибольшее значение функции y = 11x - 5cos(x) + 2 на отрезке [-π/2; 0] равно приблизительно 6.050 и достигается в точке x ≈ -0.456.